【文章內(nèi)容簡介】 內(nèi)存在 ? ?d,c的一個鄰域 及一個小于 1的正數(shù) L， 使得 ?x ? ??????xxxS在 S上存在且 ? ?xg? ? ? ,Lxg 1??? 取 ? ? ? ? ,x,xb,a ?? ??? ??顯然 在 上滿足定理 1的條件（ 1）。 ? ?xg ? ?b,a23 又當(dāng) 時， ? ?b,ax ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????????? ???? xxLxxgxgxgxgx其中 介于 之間， ? x,x?這又說明 在 上滿足定理 1的條件（ 2）。 ? ?xg ? ?b,a例 5 方程 有唯一實(shí)根 xex ?? ? ? ,x 10?? 試討論迭代法 ? ??,kex kxk 2101 ?? ??的收斂性。 解 設(shè) ? ? ,exg x?? ? ? ,exg x????顯然在 內(nèi)， 連續(xù)且 ? ?10, ? ?xg? ? ? 10 ???? ? eexg x所以迭代法 ? ??,kexkxk 2101 ?? ??在 附近具有 ?x局部收斂性。 只要 取得充分靠近 ，迭代過程必收斂。 0x?x24 迭代點(diǎn)圖形 函數(shù)圖形 25 例 6 用迭代法求方程 0123 ??? xx 在隔根區(qū)間 內(nèi)的根， ? ?5141 .,.要求精確到 .410?解 ⑴ 構(gòu)造迭代公式 方程等價形式為 ? ? 3 2 1??? xxxg? ??,kxx kk 21013 21 ????相應(yīng)的迭代公式為 ⑵ 判斷迭代法的收斂性 顯然 ? ? 123 ??? xxxf 在 內(nèi)連續(xù) ? ?5141 .,.而 ? ? ,...f 01414141 23 ???? ? ? ,...f 01515151 23 ????? ? 3 2 1???? xxxg 在 內(nèi)有實(shí)根 ? ?5141 .,.? ? ? ?3 22 132???xxxg又 在 內(nèi)存在，且 ? ?5141 .,. ? ? 132 ??? xg所以由定理 2知，迭代法收斂。 ⑶ 列表計算如下： 26 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 kkx41 1031 ?? ??? kk xx02022 .xx ??0 0 9012 .xx ??0 0 4023 .xx ??0 0 2034 .xx ??0009045 .xx ??0004056 .xx ??0002067 .xx ??00007078 .xx ??489 1031 ???? xx所以 ..x 46561??27 迭代法 N e w t o n ., N e w t on的典型代表它是逐步線性化方法法是一種重要的迭代法展開處在將的近似根為設(shè)方程 T a y l o r )( , 0)( 00 xxfxxf ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????????? 202200 !2 xxxfxxxfxfxf? ? ? ?? ? ( 1 ) .0000 ???? xxxfxf? ? .)( )( 000010 xfxfxxxxf???????167。 3 Newton迭代法 28 展開處在將的近似根為設(shè)方程一般地T a y l o r )( , 0)( , kk xxfxxf ?新的近似根為 0)( ??? kxf( 2 ) ).,2,1,0( )( )( 1 ?????? kxf xfxxkkkk? ? ? ?? ? ( 3) . xf xfxxg ???其迭代函數(shù)為? ?? ? . 0)( xfxfxxxf???? 的等價方程為. N e w t o n ( 2 ) , N e w t o n 迭代公式為稱式迭代法這種法稱為29 Newton 法的幾何意義 . )( * 0)( 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與表示曲線的根方程 xxfyxxf ??? ?此切線方程為的切線作上的點(diǎn)過曲線的某個近似值為設(shè) , )( )(, )( , * xfyxfxPxfyxx kkkk??? ? ? ?? ? ,xxxfxfy kkk ????? ?? ? .* , 11 xxxfxfxxxkkkkk ???? ??軸交點(diǎn)為此切線與. N e w t o n 法稱為切線法故kx2?kx 1?kx?x? ?? ?kkk xf,xP1?kPxyo30 ? ? ? ?? ? ???? xf xfxxg 由證? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? 221xfxfxfxfxg???????? ? ? ? ?? ?? ? ( 5 ) 2xfxfxf????.0*)(39。 ,0*)( , 0( x ) * ??? xfxffx 即有的單根為因. N e w t o n,2 ,0*)(39。 )5( 法具有局部收斂性知按定理有由式 ?xg. *x N e w t o n , b)( a , ( x )f ( 2 )x*。 b)( a , ( 1 )s . t . b)( a , 0,f ( x ) 3附近具有局部收斂性迭代法在則內(nèi)連續(xù)在內(nèi)存在方程的單根對于方程定理????在31 本定理不證，其幾何意義明顯，如圖。 ? ?:],[)( ,0 2下列條件如果滿足設(shè)對于方程 baCxfxf ??? ? ? ? )( 。0 )1( 根存在?bfaf? ? )( 。,0)(39。 )2( 根唯一baxxf ???? ? )( 。 ],[ )3( 凹向不變上不變號在 baxf ??? ?? ? . ,2,1,0 N e w t o n 1 收斂迭代法則 ?????? kxfxfxxkkkk? ? ? ? .0 ],[ )4( 000 ??? xfxfxba 使?jié)M足條件上任取初值在4定理32 b1x 0x?x xyo 2xa? ? 0?? xf? ? 0??? xfb1x 0x?xxyo2xa? ? 0?? xf? ? 0??? xfb1x0x?x xyo 2xa? ? 0?? xf? ? 0??? xfb1x0x?xxyo2xa? ? 0?? xf? ? 0??? xf? ? ? ? . ,0 ],[ , ],[ )( ,000則迭代過程收斂且只要上在曲線從圖中看出?????xfxfbaxbaxfy33 例 1 用牛頓迭代法求方程 ? ? 01 ??? xxexf 在 附近的根 , ?要求精度 .10|| 51 ?? ?? kk xx解 相應(yīng)的牛頓迭代過程為 kkkxkxxkkk exeexxx?????11(k=0、 2…) 收斂， 計算結(jié)果如下表： 0 1 2 3 4 k kx kk xx ??1得 .??xkxkk xexx k???? ?134 例 2 對于給定的正數(shù) a， 用牛頓迭代法建立求平方根 的收斂 a的迭代公式。 解 令 ? ? ? ? ,x,axxf 02 ??? 則 的正根就是 ? ? 0?xf a故相應(yīng)的牛頓迭代公式為 ???????? ??????kkkkkk xaxxaxxx21221(k=0、 2…) 當(dāng) 時， 0?x ? ? ? ? ,xf,xxf 0202 ???????由定理 4知， 對于任取的初始近似值 ,ax ?0即上式即為所求。 證明收斂性： 不妨取區(qū)間 ,a,a ???????? ? 12有 ? ?021 ?????????? afaf? ? ? ? .xfxf 000 ???? ?kx ,a由迭代公式產(chǎn)生的序列 必收斂于平方根 35 例 2 對于給定的正數(shù) a， 用牛頓迭代法建立求平方根 的收斂 a的迭代公式。 解 令 ? ? ? ? ,0,22 ??? xxxf???