【文章內(nèi)容簡介】 n? ? ? 必定線性無關(guān) .同樣 ,因為這些 12, , , n? ? ?非零 ,（ 4）表示 12, , , n? ? ? 是特征值 , 12, , , n? ? ? 是相應的特征向量 .這就證明了定理中第一 ,第二和隨后的第三個命題的必要性 . 最后 ， 給定任意 n 個特征向量 12, , , n? ? ? ， 用它們作為矩陣 P 的列 ,并用相應的特征值來構(gòu)造矩陣 D ,由 （ 1） ~（ 3） ,等式 AP PD? 成立而不需要特征向量有任何條件 .若特征向量是線性無關(guān)的，則 P 是可逆的 ,由 AP PD? 可推出 1A PDP?? .證畢 . 例 題 4 可能的話 ,將下面的矩陣 A 對角化 ： 2 4 34633 3 1A????? ? ? ??? 解 由 A 的特征多項式 ： 3 2 20 de t ( ) 4 ( 1 ) ( 2)AI ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得特征值是 1?? 和 2?? .但當我們找特征向量時 對于 1?? 的特征向量： 1111????????????? 畢業(yè)論文 第 11 頁 共 27 頁 對于 2?? 的特征向量 ： 2110????????????? 沒有有其他特征向量了 ,A 的每個特征向量都是 1? 或 2? 的倍數(shù) ,因此不能利用A 的特征向量構(gòu)造出 3 的基 .由定理 ,A 不能對角化 . 3． 2 Jordan 標準型 與對角化的關(guān)系 定義 8 形如 1212()()()knnnkJJJJ??????????,（ 12+ + =kn n n n? ） 的 塊對角陣為 Jordan 型矩陣 ,并稱方陣 1( ) , ( 1 , 2 , , )1iiiiinii nnJ i k???? ??????????? 為 in 階 Jordan 塊 . 注意 當 ()iniJ ?都是一階 Jordan 塊時 ,即 ? ? ? ? ? ?121 1 2 2( ) , ( ) , , ( )kn n n k kJ J J? ? ? ? ? ?? ? ?, 有 J 為對角陣 ,由此看出 對角陣 其實 只是 Jordan 陣的特例 . 性質(zhì) 1 矩陣 J 可對角化 ,當且僅當 kn? . 性質(zhì) 2 Jordan塊的個數(shù) k （相同的子塊計重復出現(xiàn)的次數(shù)）是 J 的 .線性無關(guān)特征值向量的個數(shù) . 定理 9 兩個數(shù)字方陣相似的充要條件是它們的特征矩陣等價 . 定義 9 稱 n 階數(shù)字矩陣 A 的特征矩陣 EA? ? 的行列式因子、不變因子和初等因子為矩陣 A 的行列式因子、不變因子和初等因子 . 定理 10 兩 個數(shù)字方陣相似的充要條件是它們有相同的行列式因子（或不變因子） . 畢業(yè)論文 第 12 頁 共 27 頁 定理 11 復數(shù)域上兩個數(shù)字方陣相似的充要條件是它們有相同的初等因子 . 注意 其實 ,結(jié)合上定理 ,不難發(fā)現(xiàn) 初等因子 ? ?ma?? 與 m 階 Jordan 塊 mm11aaa ????????? 存在一一對應關(guān)系 .因此可利用特征矩陣的初等因子求矩陣的 Jordan 標準型 ,即有如下定理： 定理 12(Jordan 標準型 定理 ) 復數(shù)域上任何一個數(shù)字方陣 A 都與一個Jordan 型矩陣相似 ,這個 Jordan 型矩陣除去其中 Jordan 塊排序外是被 A 唯一確定的 ,稱它為 A 的 Jordan 標準型 . 證明 : 設 n 階復矩陣 A 的初等因子為 12 mmm12( ) , ( ) , , ( ) ss? ? ? ? ? ?? ? ? 其中 12, , , s? ? ? 可能有相同的 ,指數(shù) 12 smm m 也可能有相同的 .每一個初等因子 m()ii??? 對應于一 個 Jordan 塊 , 1( ) , ( 1 , 2 , , )1iiiiinii nnJ i s???? ???????????. 這些 Jordan 塊構(gòu)成一個 Jordan 型矩陣 , 12sJJJJ????????? 易知 , J 的初等因子就是 12 mmm12( ) , ( ) , , ( ) ss? ? ? ? ? ?? ? ?. .由于 J 與 A 有相同的初等因子 ,所以它們相似 . 假設有另一個 Jordan 型矩陣 K 與 A 相似，那么與 A 有相同的初等因子，因此， K 與 J 除了其中 Jordan 塊排序外是相同的，唯一性得證 .證畢 . 畢業(yè)論文 第 13 頁 共 27 頁 例 題 5 （ 1） 在 例 中 求出的 B?()的初等因子的基礎上 ,求出 B 的 Jordan 標準型 . （ 2） 求出例 的 Jordan 標準型 . 解 （ 1） 由于 B?()的初等因子為 : ? ? ? ?33,a b a b??? ? ? ? 所以 B 的 Jordan 標準型為 1111abababababab?????????????? （ 2） 由 22 4 3 14 6 3 13 3 1 ( 1 ) ( 2)IA???? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 知 A 的 Jordan 標準型為 1212????????. 4 Jordan 標準型的性質(zhì) 及 應用 Jordan 標準化 的應用是廣泛的 ,下面 將利用其給出 H am ilton C ayley?定理的證明 ,并說明其 在矩陣分解及在求解線性微分方程組中的應用 . 4． 1 Jordan 標準型 在證明 H am ilton C ayley? 定理中的應用 定理 [4]13 （ H am ilton C ayley? 定理 ） 設 A 是 復數(shù)域 C 上任意 n 階方陣 , A 的特征多項式為 () IA? ? ???||,則 ( ) 0A? ? ,其中 I 為 n 階單位矩陣 . 畢業(yè)論文 第 14 頁 共 27 頁 證明 ：存在秩為 n 的 n 階 復 方陣 P ,使 1P AP J? ? ,其中 J 是 A 的 Jordan標準型 ,可以寫成 12nJ??????????????, 其中 ? 代表 1 或 0,因為 12, , , n? ? ? 是 A 的 特征值 ,故 12( ) = nIA? ? ? ? ? ? ? ? ???| | ( ) ( ) ( ). 從而 12( ) nA A I A I A I? ? ? ?= ( )( ) ( ) 1 1 1 11 2 1 2 ( nnP J P I P J P I P J P I P J I J I J I P? ? ? ? ? ?? ? ? ?= ( ) ( ) ( ) = ) ( ) ( ) 12 121 2 112000nnnnPP?? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?= 12 10 0 00 0 00nn??? ? ????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?