約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型ppt課件(編輯修改稿)
2025-05-30 03:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 iag(1, …,1,d 1(λ), d2(λ), … , dr(λ))，其中 di(λ)是首一多項(xiàng)式且 di(λ)|di+1(λ)， i=1,2,…,r 1 簡(jiǎn)證 ： det(λ IA)是 n次多項(xiàng)式， (λ IA)其秩為 n 相抵于 diag(d1(λ), d2(λ), … , dn(λ))，其中 di(λ)是首一多項(xiàng)式且 di(λ)|di+1(λ)， i=1,2,…,r 1 若非常數(shù)的 di(λ)有 r個(gè)，則有 nr個(gè) 1出現(xiàn)。 定理 ：任一 n階可逆 λ 矩陣都可以表示為有限個(gè)初等 λ 矩陣的積 北京科技大學(xué)自動(dòng)化 不變因子 定義 設(shè) A(λ)是一個(gè) n階 λ矩陣， k ≤n ，如果 A(λ) 的所有 k階子式的最大公因子不等于零，則稱這個(gè)多項(xiàng)式為 A(λ) 的 k階行列式因子，記為 Dk (λ)，如果A(λ)的所有 k階子式都等于零，則規(guī)定 A(λ)的 k階行列式因子為零。 定理 ：設(shè) D1(λ),D2(λ), … ,D r(λ)是 A(λ )的非零行列式因子，則 Di(λ)|Di+1(λ)， i=1,2,…,r 1成立。 定義 ：設(shè) D1(λ),D2(λ), … ,D r(λ)是 A(λ )的非零行列式因子，則 g1(λ )=D1(λ ),g2(λ )=D2(λ )/D1(λ ), …, gr(λ),=Dr(λ)/Dr1(λ)，稱為的不變因子組。 例：求 diag(d1(λ), d2(λ), … dr(λ), 0, …0) 的行列式因子 北京科技大學(xué)自動(dòng)化 不變因子 定理 ：相抵的 λ 矩陣有相同的行列式因子，從而有相同的不變因子。 證明：行列式因子在初等變換下不變 定理 ： λ 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的。 定理 ：數(shù)域 K上 n階矩陣 A和 B相似的充要條件是它們的特征矩陣 (λ IA)和 (λ IB)具有相同的行列式因子或不變因子。 證明： A~B (λ IA)和 (λ IB)相抵 相同的不變因子或行列式因子 北京科技大學(xué)自動(dòng)化 不變因子 定理 ：設(shè) A為數(shù)域 K上的 n階方陣， A的不變因子組為 1, …,1,d 1(λ), d2(λ), … dr(λ)，其中 degdi(λ ) =mi，則 A相似于下列分塊對(duì)角陣： 120 1 10 1 0001iimrFFFFa a aF?????????????????? ? ??? ??， 其 中注： det(λ IA)的不變因子組 1, …,1,d 1(λ), d2(λ), … dr(λ))，稱為 A的不變因子組 北京科技大學(xué)自動(dòng)化 不變因子 初等因子： 設(shè) A為數(shù)域 K上的 n階方陣， d1(λ), d2(λ), … ,dr(λ)為 A的非常數(shù)不變因子，在 K上將其分解成不可約因子之積： )()()()()()()()()()()()(21222211121121212211????????????rtrrtteteereteeeteepppdpppdpppd?????????),2,1(21 tjeee rjjj ?? ????定理 ：設(shè) A為數(shù)域 K上的 n階方陣， A的 不變因子組 為 1, …,1,d 1(λ), d2(λ), … , dr(λ)，則 A的極小多項(xiàng)式m(λ)= dr(λ) 北京科技大學(xué)自動(dòng)化 不變因子
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