正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法的推廣本科畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-10-02 09:43 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? 第 8 頁(yè) 共 18頁(yè) 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文用紙 對(duì) n 充分大時(shí)有 2 1 2 111nnMar???? 和 2212nnsMar? ? ? 那么根據(jù)引理 2， 級(jí)數(shù)1 nn a???收斂 （ 2） 當(dāng) p12 時(shí) ， 對(duì)于正整數(shù) ? 使 12p ??? ， N? ， 當(dāng) nN? 時(shí) ， 有 2 12nna pa ?? ? ?和 21112nna pa ??? ? ? ? 令 11nM n? ?， 則 2 112 1 2nnM nMn????， 而 211122nnM nMn?? ??， 故 22nnaM? 和 2 1 2 111nnaM??? 成立 又 2 nn M???是發(fā)散的 ， 由定理 1 得 1 nn a???發(fā)散 將定理 2 推廣到一般的形式 ， 敘述如下： 定理 3 關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)1 nn a???與1 nn b???， 若存在自然數(shù) N， 當(dāng) nN 時(shí) ， 不等式 1 1 1 11 1 1 1, , , ( 2 , )k n k n k n k n k n k k n kn n n n n k n ka b a b a b k k Na b a b a b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?成立 ， 則 (1) 若級(jí)數(shù)1 nn b???收斂 ， 則級(jí)數(shù)1 nn a???收斂 ； (2) 若級(jí)數(shù)1 nn a???發(fā)散 ， 則級(jí)數(shù)1 nn b???發(fā)散 證明：由條件知 ， 若存在自然數(shù) N， 當(dāng) nN? 時(shí) ， 不等式 ( 0 ,1 , , 1 )k n i n ik n i n iaa ikbb??? ? ?成立 ， 不妨取自然數(shù) p kN N??， 并令 M= max iN i p iab????????， 當(dāng) N n p?? 時(shí) ， m axniN i pbiaa Mbb??????????；當(dāng) np? 時(shí) ， 則唯一存在一個(gè)自然數(shù) 1n ,使 1 1 1( 0 , 1 , , 1 )n k n i p k N i k? ? ? ? ? ?， 故11n i N?? 第 9 頁(yè) 共 18頁(yè) 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文用紙 若 11ni? p， 則1 1 1 11 1 1 1k n i n inn k n i n iaaa Mb b b??? ? ?； 若 11ni? p,則唯一存在一個(gè)自然數(shù) 2n ， 使 1 2 2 2( 0 , 1 , , 1 )n k n i i k? ? ? ?， 其中 22n i N?? ，于是1 1 2 2 2 21 1 2 2 2 2n i k n i n in i k n i n ia a ab b b? ? ?? ? ???且 2 2 1 1n i n i? ? ? 由于 np? ， 經(jīng)過有限步 ， 假設(shè)第 s 步 ,必有 ssn i p?? ， 于是s s s ss s s sk n i n inn k n i n iaaa Mb b b??? ? ? 所以當(dāng)級(jí)數(shù)1 nn b???收斂 ， 則級(jí)數(shù)1 nn a???收斂 ； 當(dāng)級(jí)數(shù)1 nn a???發(fā)散 ， 則級(jí)數(shù)1 nn b???發(fā)散 證明完畢 定理 3 的推論： 推論 1 給定正項(xiàng)級(jí)數(shù)1 nn a???， 若 11l i m l i m l i mk n k n k n kn n nn n n ka a a pa a a? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?， 則 （ 1） 1p k? 時(shí) ，1 nn a???收斂 ； （ 2） 1p k? 時(shí) ，1 nn a???發(fā)散 證明：（ 1）當(dāng) 1p k? 時(shí) ， 令 1 1 1,2s p pkk? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 則存在實(shí)數(shù) r1， 使得 11rs kk??，令 1n rb n?， 11l i m l i m l i m1rk n k nrn n nnnabknpsa k bn? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ???????， 1111 1l i m l i m l i m11rk n k nrn n nnnab knpsa k bn??? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ??????， 1111 1l i m l i m l i m11rk n k k n krn n nn k n kab k n kpsa k bnk? ? ? ??? ?? ??? ? ? ???????? ? ? ? ??????? 第 10 頁(yè) 共 18頁(yè) 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文用紙 于是 0 0N??， 當(dāng) 0kN? 時(shí) ， 有 1 1 1 11 1 1 1, , ,k n k n k n k n k n k k n kn n n n n k n ka b a b a ba b a b a b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 因?yàn)榧?jí)數(shù) 111 ( 1)n rnnbrn????????收斂 ， 由定理知 ， 級(jí)數(shù)1 nn a???收斂 （ 2） 當(dāng) 1p k? 時(shí) ， 令 1nb n?， 11l im l im l im1k n k nn n nnnabknpa k bn? ? ? ? ? ?? ? ? ?， 1111 1l im l im l im11k n k nn n nnnabknpa k bn?? ? ? ? ? ???? ? ? ??， …………… ． 1111 1l im l im l im11k n k k nn n nn k nabk n kpa k bnk??? ? ? ? ? ?????? ? ? ??? 于是 0 0N??， 當(dāng) 0kN? 時(shí) ， 有 1 1 1 11 1 1 1, , ,k n k n k n k n k n k k n kn n n n n k n ka b a b a ba b a b a b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 又因?yàn)榧?jí)數(shù)111 ( 1)n rnnbrn????????發(fā)散 ， 定理知級(jí)數(shù)1 nn a???發(fā)散 2． 2． 2 應(yīng)用 舉例 例 1??10 論 ? ?0!1 ???? xnxnn nn 是否收斂 解：? ?111!1l i m l i m!nnnnnnx na xnaex nn??? ? ? ??? ??????????????? 當(dāng) x=e 時(shí) ， 用達(dá)朗貝爾判別法不能斷定級(jí)數(shù)的斂散性 利用 ? ?12! 2 0 1n nnn n ee?????? ? ????? 第 11 頁(yè) 共 18頁(yè) 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文用紙 此時(shí) ? ?2 2 22421222 ! 422 2!2n n nn nnn n nn nx n xn n ea xn e naex n xn n en e n????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 當(dāng) x=e 時(shí) ， 212lim ????n， 由定理 2 得 ， 級(jí)數(shù)發(fā)散 例 2：討論21 1lnn nn?? ??是否收斂 解 令 2 1lnna nn? ?， 則 ? ?? ?2 2 222 2221 ln12 l n 2 ln1 l n 22 l n 2 2lnnnnnna nn nna nnn n n??
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