【文章內(nèi)容簡介】 ，展開上式，舍去高次項，上式可展開成 026620 2121 ????? hrhrhE ???????? ?? (式 ) 可以看出，兩振子相互作用后，能量降低了，降低的數(shù)值為 ? ?026 21 ?? hrru L ??，因為 Lu 與 0? 有關，故稱為色散力 。 對三維的振子，可以證明它們的色散作用能為? ? 026 431 ?? hrru L ?? ，同時還可以證明色散力是 一種吸引力，與 r 的 6 次方成反比，是普遍存在于分子或原子間的一種力，極化系數(shù) ? 愈大，此力也就愈大 。 若兩個振子的振動頻率與極化系數(shù)不同，則它們的色散互作用能可以證明為 [15] ? ? 21 21216 231 ?? ???? ??? hrru L (式 ) 西安文理學院本科畢業(yè)設計（論文） 第 11 頁 對于非極性分子之間來說，由于本身不存在固有偶極矩，所以不受到取向力和誘導力的作用，在非極性分子間只存在色散相互作用。其范德瓦爾斯力可由 ()式直接 得出 ? ? 21 21216 231 ?? ???? ??? hrru (式 ) 對于相同分子 ??? ?? 21 ， ??? ?? 21 其范德瓦爾斯力由 ()得 ? ? ?? hrru 231 26?? (式 ) 對 于極性分子與非極性分子之間的作用力，由于極性分子對非極性分子的誘導作用所以他們之間存在誘導力；同時由于分子運動的瞬時偶極矩的原因使他們存在瞬時偶極矩 的相互作用所以他們之間還存在著色散力。因此其所受范德瓦爾斯力應為 ? ? ? ? ? ?LD rururu ?? ? ? ?????? ?????212121620222216 2341 ?? ??????? hrppr (式 ) 對于極性分子之間的相互作用，由于它們既存在分子固有偶極矩間的相互作用，又會因為彼此的固有偶極矩誘導作用使另一分子產(chǎn)生誘導偶極矩，還會存在分子的瞬時偶極的相互作用，所以他們之間同時存在取向力，誘導力和色散力 [16]。 根據(jù) ()、 ()、 ()式的討論，可知極性分子總的相互作用能 為 ? ? ? ? ? ? ? ?LDK rurururu ??? ? ??????? ??????2121216202222122216 234321 ????????? hrppTk pprB (式 ) 對相同的分子，則有 ? ? ?????? ???? ????? 2202246 83432 hpTkprru B (式 ) 宏觀響應理論計算低維色散作用勢 近幾年來，由于漲落性質的長程相互作用在 JC 模型，二聚物，圈閉電離以及超導物理和液晶物理研究中的成功應用，特別是激光幽閉原子冷阱的實現(xiàn)，引起人們對 Van der Waals 力研究的新的興趣 [17～ 19]。實驗上最近也對其進行了精確的 測定 [20]。目前工作主要集中在對三維 Van der Waals 色散系數(shù)的具體計算上，對低維情況下的Van der Waals 力可能出現(xiàn)的復雜性則缺乏詳細的分析， 現(xiàn)在 針對偶極一偶極色散相西安文理學院本科畢業(yè)設計（論文） 第 12 頁 互作用這一較為基本的情形，在闡明該作用的本質 — 漲落機制的基礎上自然地引入BarashGinburgh 宏觀響應理論，并將其運用于低維色散相互作用的各種情形 (包括延遲效應的影響 )。 宏觀響應理論 所謂色散作用，是指平均電荷密度及平均偶極矩密度均為零時，中性系統(tǒng)間存在著的漲落性質的電磁相互作用。當不計相對論性延遲效應 時，漲落機制來自體系電荷與電流密度的漲落及其通過長波電磁場的相互作用。當不考慮磁作用時，系統(tǒng)的特殊性質只須一個參數(shù) — 極化率就可完全描述。這里極化率就是體系對外界擾動的線性響應系數(shù)。因此，宏觀響應理論不僅數(shù)學形式簡單，而且適用性很廣，對于任意中性系統(tǒng)間的色散作用，如原子、分子、凝聚態(tài)物質微粒等，特別是對我們關心的各種低維色散作用都可以進行簡捷的處理。對其基本公式稍加推廣便能用來處理各種復雜的實際情況。 為抓住物理實質 ， 考慮兩個瞬時偶極矩滿足下述對稱性條件的中性體系 ： ? ? 2222, zyx dddnd ????? (式 ) 設體系 1 自發(fā)產(chǎn)生偶極矩為 ? ??,11 rd ?? ， 形成的電場譜分量為： ? ? ? ? ???????? ????? RRnrrRR dndnrE ??????????? ,3, 123 1121 ? (式 ) 該場在體系 2 產(chǎn)生一誘導偶極矩 ： ? ? ? ? ? ????? ., 2122 rErd i ???? ? (式 ) ???? 為極化率 。 正是這種漲落偶極矩與其誘導偶極矩間作用導致了兩體系間 dd 色散作用能 [21]： ? ? ? ? ? ?? ????????? ?? ?????? 2 ,212,126 23 zz dddRRU (式 ) 這里利用了 ()式和彈性偶極子的能量公式： ? ??2,2/ zdEd ???為偶極矩漲落的Fourier 譜分量形式 。 由零溫時的漲落 耗散定理 [22]： ? ???? Im2 ??zd (式 ) 和基態(tài)原子極化率公式 [23]： 西安文理學院本科畢業(yè)設計（論文） 第 13 頁 ? ? ? ?? ?? ?? nnnm fe 22002 ???? (式 ) nf0 為態(tài)躍遷的振子強度 。 00 EEnn ??? 為原子態(tài)之間跌遷頻率 。 為簡單計 ， 設對于兩原子都僅有一種躍遷且頻率分別表示為 1? ， 2? ， 即得著名的 London 公式： ? ? ? ? ? ?6 2121 21 0023 RRU ???? ?? ??? ? (式 ) 其中 ， 用到了關于 ???? 的一個重要的且與它的積分相聯(lián)系的關系式 [24]： ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ?? ?0 210 21Im ?????????? diid (式 ) 如果與文獻 [25]的結果比較 ， 即可知那里的極化率 ? 實際上是靜態(tài)情形 ??0? ， 而其定義的 “ 彈性系數(shù) ” k 與頻率的關系為 fmk /2?? 。 值得注意的是 ， 為了研究延遲效應等更加復雜的實際情形 ， dd 相互作用即式()必須推廣為更一般的形式 ： ? ? ? ? ? ? ???????? trEtrdRU iii ,21 ????? () 這里 δ 指減去自能項 ， d 與 E 均包含自發(fā)項與誘導項之和 。 低維色散作用能的計算 為了方便對比 ， 設對稱性條件 ()仍然成立 ， 兩體系極化率及躍遷頻率均相同 。下面分別研究一維和二維兩種情形 。 必須指出一維色散作用不只一種形式 。 如圖 所示 ， 除 圖中形式 (A)早已被文獻 [25]指出的情形外 ， 利用對稱條件 ()， 由 ()， ()， ()式很容易求出 ： ? ? 321 2, RdtzE za ?? ， ? ? ? ?62 02 RRU a ????? (式 ) 這就得到了通常結果 [25]， 稱為縱向一維色散作用能 。 圖 一維色散作用能示意圖 西安文理學院本科畢業(yè)設計（論文） 第 14 頁 同樣也可以得到 形式 (B)，形式 (C)兩種情形的如下結果： ? ? ? ?62 08 RRU b ????? ； ? ? ? ?62 0165 RRU c ????? (式 ) 分別稱為橫向及混合型一維色散作用能 。 比較 ()， ()式得 ： ? ? ? ? ? ? 6 2 ::1:: ?RURURU cba (式 ) 因此 ， 根據(jù)偶極漲落 相對取向的不同 ， 低維色散作用必須考慮到多種形式 ， 僅由 ()， ()式得出 “ 三維情形是一維情形的 倍 ” 的結論是不全面的 。 即使對于圖 3(A)的情形 ， 也還存在著遠程的延遲性低維 Van der Waals 色散作用能問題 。 這里我們來進行一下簡單的分析 。 首先 ， ()式必須修正為 ： ? ? ? ? ? ? ? ?11021 , zdRDzE R ??? ? (式 ) 式中 ， ??RD0 為延遲 Green 函數(shù) ： ? ? ? ? ?????? ?????? ?? 2/0 12 cRiReD RciR ??。 同時 還須考慮到真空漲落場誘導的偶極矩 ? ? ? ?00 Ed i ?? 及它們的相關性 ， 即 [23]： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?RzzzzDzEzE R ???? 212102020 ,Im ?? ? (式 ) 利用 ()式及電動力學中熟悉的鏡像法 (取二次鏡像近似 )， 可以得到如下的適用于任意距離的表達式 ： ? ? ? ? ? ? ? ?? ???????? 20 ,2Im RDdRU R ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?????????? ?????? ????0 234442/22/1/2/12 cRcRcRcReidRc?????????? (式 ) 容易證明 ， 在近距離極陰下 ? ?0/ ?cR? ， 上式即化為 ()式 (考慮到 ()式 )。另一方面 ， 在遠距離極限下 ， ()式中的指數(shù)因子表明低頻貢獻居主要地位 ， 極化率可以取靜態(tài)情形 ， 即 ： ? ? ? ?0??? ?i ； 這時 ， 完成 ()式的積分 ， 得到 ： ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ????027262 02 54/1202 ??????? ? R cedRcRRU ?? (式 ) 這就是縱向情形的一維 Casimir 色散作用能 。 (注意此時色散能是與 R 的七次方成反比的 )與標準的三維情形相比較 [26]， 可以發(fā)現(xiàn)三維情形是一維情形的 倍 ， 而不再是 倍 (至于其它的情形 ， 可以完全類似地得到 )。 此外還發(fā)現(xiàn) ， 如果圖 形式 (B)中偶極矩 p? 成為常偶極矩 (例如對于中性激發(fā)態(tài)西安文理學院本科畢業(yè)設計（論文） 第 15 頁 原子 )， 則會得到排斥性的相互作用能 ： ? ? 3024 RpRU ???? （國際單位制） 注意此時相互作用能是與 R 的三次方成反比的 。 最后 ， 為對比起見 ， 對二維情形的色散作用能進行一些分析 。 如圖 所示 ， 這時有三種互不等價的情形 。 對于 圖中形式 (A)情形 ， 由 ()， ()， ()式容易得到 ： 圖 二維色散作用示意圖 31 3 R ddE za?? ?? ； ? ? ? ????????? 0851 26 ???RRU a (式 ) 稱為縱向二維色散作用能 。 同理 ， 由圖 形式 (B)，形式 (C)可得橫向及混合型二維色散作用能 ： ? ? ? ????????? 041 26 ???RRU b ； ? ? ? ????????? 01671 26 ???RRU c (式 ) ::1:: ?cba UUU (式 ) 因此 ， 如果只考慮縱向情形 ， 則一維 ， 二維和三維色散作用能之比為 4∶ 5∶ 6；若僅考慮橫向 情形 ， 則其比值為 1∶ 2∶ 6， 即此時三維情形的 6 倍而不是 倍 。 至于其它情形 ， 其比值則介于這兩者之間 。 這樣就表 明 ： 低維 Van der Waals 色散作用與漲落相對取向有著密切關系 ，并且得出 低維情形下出現(xiàn)排斥性 Van der Waals 作用的條件。 西安文理學院本科畢業(yè)設計（論文） 第 16 頁 結束語 經(jīng)過兩個多月的努力，范德瓦爾斯力的產(chǎn)生機理及其計算終于完成。在整個 論文寫作 過程中，出現(xiàn)過很多的難題，但都在老師和同學的幫助下順利解決了，在不斷的學習過程中我體會到：寫論文是一個不斷學習的過程，從最初剛寫論文時對范德瓦爾斯力的產(chǎn)生機理的模糊認識到最后能夠對 該問題有深刻的認識，我體會到 自我探究 對于學習的重要性，以前只是明白理論，沒有經(jīng)過 自我探究 ，對知識的理解不夠明確，通過這次 論文寫作 ，真正做到 知識融會貫通 。 總之，通過 這次 畢業(yè) 論文寫作 ，我深刻體會到要做好一個完整的事情，需要有系統(tǒng)的思維方式和方法，對待要解決的問題，要 有 耐心 ， 要善于運用已有的資源來充實自己。同時我也深刻的認識到，在對待一個新事物時，一定要從整體考慮，完成一步之后再作下一步，這樣才能更加有效。 西安文理學院本科畢業(yè)設計（論文） 第 17 頁 致謝 本課題的研究探討以及論文撰寫一直