剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其計(jì)算方法畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-15 06:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 （53）式中和分別是外力和內(nèi)力切向分力的力矩。考慮到外力和內(nèi)力在法向的分力和均通過轉(zhuǎn)軸，所以其力矩為零。故上式左邊也可理解為作用在質(zhì)點(diǎn)上的外力矩與內(nèi)力矩之和。若遍及所有質(zhì)點(diǎn)，可得 （54） 由于剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸的合內(nèi)力矩為零，故上式為 （55) 則有 （56）式中的 與剛體的形狀、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，也就是說，它只與繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體本身的性質(zhì)和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，叫轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，它為一恒量，以表示，即 （57)（57)代入（56）就有 （58） （58）式表示剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的與牛頓第二定律等效的動(dòng)力學(xué)方程。可見，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，這個(gè)關(guān)系叫做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，簡稱轉(zhuǎn)動(dòng)定律。把式（58）與描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式相對比可以看出，它們的形式很相似：外力矩和外力相對應(yīng)，角加速度與加速度相對應(yīng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量相對應(yīng)。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義也可以這樣理解：當(dāng)以相同的力矩分別作用于兩個(gè)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的不同剛體時(shí)，它們所獲得的角加速度一般是不一樣的。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大的剛體所獲得的角加速度小，即角速度改變得慢，也就是保持原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的慣性大；反之，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小的剛體所獲得的角加速度大，即角速度改變得快，也就是保持原有的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的慣性小。因此我們說，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)中的慣性大小的物理量。故下面進(jìn)行討論計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的幾種方法。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法 定義法由可以看出，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體上各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之和。如果剛體上的質(zhì)點(diǎn)是連續(xù)分布的，則其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以用積分進(jìn)行計(jì)算，即 （59）在國際單位制中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位是。下面計(jì)算兩種簡單形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖52［例］ 一質(zhì)量為、長為的均勻細(xì)長棒，如圖52所示，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。［解］ 設(shè)細(xì)棒的線密度為。如圖所示，取一距離轉(zhuǎn)軸為處的質(zhì)量元， 由式（59）可得 由于轉(zhuǎn)軸通過棒的中心，有 如以通過棒的端點(diǎn)且平行于的軸為轉(zhuǎn)軸，用同樣的方法?？捎?jì)算出棒對此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。可見所得的結(jié)果相比，它比轉(zhuǎn)軸為時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要大。我們在普通物理研究中已學(xué)過計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的最簡單的方法平行軸定律和垂直軸定律，它們的表達(dá)式分別為 (平行軸定律)和(垂直軸定律),但用這種方法來計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，對一些復(fù)雜的問題不能進(jìn)行充分的解析，而這些方法只限制于只計(jì)算對稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，所以我們采用其他的方法如將要介紹的慣量橢球法。由理論力學(xué)知識(shí)知道物體在一般情況下的慣量張量為 （510） 并且把它叫做對O點(diǎn)而言的慣量張量，而這一慣量矩陣的每一個(gè)元素（軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣量積）則叫做慣量張量，也叫慣量系數(shù)。其中 (511) 及 (512)對質(zhì)量均勻分布，且形狀規(guī)則的剛體，我們可把上兩式改寫成積分形式，即(513)及 （514）據(jù)（59）式 ，就叫做剛體對x軸，y軸，z軸的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，至于，則因含有兩個(gè)坐標(biāo)的相乘項(xiàng)，所以叫做慣量積。若令轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方向余弦各位并利用（510）式容易得到一般剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)
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