【文章內(nèi)容簡介】 ? ? ? ? ?， 且因為△ PQR 是 正 三角 形 ， 則， 第 12 頁 共 27 頁 即 ? ? ? ? ? ?r x x y y r21 2 2 1 2 2 222 1 1 4? ? ? ? ? ? ? ???? ???，得 r2 24? 。 代入方程 ? ?x r x2 21 1 1 0? ? ? ? ?，即 x x2 4 1 0? ? ? 。 由方程組 x xxy2 4 1 01? ? ?????，得： xy112 32 3? ?? ??????或 xy222 32 3? ?? ??????， 所以，所求 Q、 R 的坐標(biāo)分別為 ? ? ? ?2 3 2 3 2 3 2 3? ? ? ?， ， ， 點評：圓是最簡單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。對一些數(shù)學(xué)問題，若能作一個輔助圓，可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用。 五．思維總結(jié) 1．關(guān)于直線對稱問題： （ 1）關(guān)于 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 對稱問題：不論點，直線 與曲線關(guān)于 l 對稱問題總可以轉(zhuǎn)化為點關(guān)于 l 對稱問題，因為對稱是由平分與垂直兩部分組成，如求 P（ x0 ， y0）關(guān)于 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 對稱點 Q（ x1 ， y1）．有1010 xx yy?? ＝－ BA （ 1）與 A178。 2 10 xx?＋ B178。2 10 yy?＋ C ＝ 0。 （ 2）解出 x1 與 y1 ；若求 C1 ：曲線 f（ x ， y）＝ 0（包括直線）關(guān)于 l ： Ax ＋ By ＋ C1 ＝ 0 對稱的曲線 C2 ，由上面的（ 1）、（ 2）中求出 x0 ＝ g1（ x1 ， y1）與 y0 ＝ g2（ x1 ，y1），然后代入 C1 ： f [g1（ x1 ， y1）， g2（ x2 ， y2） ]＝ 0，就得到關(guān)于 l 對稱的曲線 C2 方程： f [g1（ x ， y）， g2（ x ， y） ]＝ 0。 （ 3）若 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 中的 x ， y 項系數(shù) |A|＝ 1， |B |＝ 1．就可以用直接代入解之，尤其是選擇填空題。如曲線 C1 ： y2 ＝ 4 x － 2 關(guān)于 l ： x － y － 4＝ 0 對稱的曲線 l2 的方程為： (x － 4) 2 ＝ 4（ y ＋ 4）－ 2．即 y 用 x － 4 代， x 用 y ＋ 4 代，這樣就比較簡單了。 （ 4）解有關(guān)入射光線與反射光線問題就可以用對稱問題來解決。 點與圓位置關(guān)系： P（ x0 ， y0）和圓 C ： (x － a) 2 ＋ (y － b) 2 ＝ r2。 第 13 頁 共 27 頁 ①點 P 在圓 C 外有 (x0 － a) 2 ＋ (y0 － b) 2 ＞ r2； ②點 P 在圓上： (x0 － a) 2 ＋ (y0 － b) 2 ＝ r2； ③點 P 在圓內(nèi)： (x0 － a) 2 ＋ (y0 － b) 2 ＜ r2 。 3．直線與圓的位置關(guān)系： l ： f1（ x ， y）＝ 0．圓 C ： f2（ x ， y）＝ 0 消 y 得 F（ x2）＝ 0。 （ 1）直線與圓相交： F（ x ， y）＝ 0 中 ? ＞ 0；或圓心到直線距離 d ＜ r 。 直線與圓相交的相關(guān)問題：①弦長 |AB| ＝ 21 k? 178。 |x1 － x2| ＝21 k? 178。 21221 4)( xxxx ?? ，或 |AB|＝ 2 22 dr ? ；②弦中點坐標(biāo)（ 2 21 xx? ， 2 21 yy? ）；③弦中點軌跡方程。 （ 2）直線與圓相切： F（ x）＝ 0 中 ? ＝ 0，或 d ＝ r ．其相關(guān)問題是切線方程．如 P（ x0 ， y0）是圓 x2 ＋ y2 ＝ r2 上的點，過 P 的切線方程為 x0x ＋ y0y ＝ r2 ，其二是圓外點 P（ x0 ， y0）向圓到兩條切線的切線長為 22020 )()( rbyax ???? 或 22020 ryx ?? ；其三是 P（ x0 ， y0）為圓 x2 ＋ y2 ＝ r2 外一點引兩條切線，有兩個切點 A ， B ，過 A ，B 的直線方程為 x0x ＋ y0y ＝ r2 。 （ 3）直線與圓相離： F（ x）＝ 0 中 ? ＜ 0；或 d ＜ r ；主要是圓上 的點到直線距離 d 的最大值與最小值，設(shè) Q 為圓 C ： (x － a) 2 ＋ (y － b) 2 ＝ r2 上任一點， |PQ|max ＝ |PC|＋ r ； |PQ|min ＝ |PQ|－ r ，是利用圖形的幾何意義而不是列出距離的解析式求最值． 4．圓與圓的位置關(guān)系：依平面幾何的圓心距 |O1O2|與兩半徑 r1 ， r2 的和差關(guān)系判定． （ 1）設(shè)⊙ O1 圓心 O1 ，半徑 r1 ，⊙ O2 圓心 O2 ，半徑 r2 則： ①當(dāng) r1 ＋ r2 ＝ |O1O2|時⊙ O1 與⊙ O2 外切；②當(dāng) |r1 － r2|＝ |O1O2|時，兩圓相切；③當(dāng) |r1 － r2|＜ |O1O2|＜ r1 ＋ r2 時兩圓相交；④當(dāng) |r1 － r2|＞ |O1O2|時兩圓內(nèi)含；⑤當(dāng) r1 ＋ r2 ＜ |O1O2|時兩圓外離。 （ 2）設(shè)⊙ O1 ： x2 ＋ y2 ＋ D1x ＋ E1y ＋ F1 ＝ 0，⊙ O2 ： x2 ＋ y2 ＋ D2x ＋ E2y ＋ F2 ＝ 0。 ①兩圓相交 A 、 B 兩點，其公共弦所在直線方程為（ D1 － D2） x ＋（ E1 － E2） y ＋第 14 頁 共 27 頁 F1 － F2 ＝ 0； ②經(jīng)過兩圓的交點的圓系方程為 x2 ＋ y2 ＋ D1x ＋ E1y ＋ F1 ＋ ?（ x2 ＋ y2 ＋ D2x ＋E2y ＋ F2）＝ 0（不包 括⊙ O2 方程）。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 13） — 直線、圓的方程 一．課標(biāo)要求： 1． 直線與方程 （ 1） 在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素 ； （ 2） 理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式 ； （ 3） 根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系 ； 2． 圓與方程 回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌 握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程 。 二．命題走向 直線方程考察的重點是直線方程的特征值（主要是直線的斜率、截距）有關(guān)問題，可與三角知識聯(lián)系；圓的方程，從軌跡角度講，可以成為解答題，尤其是參數(shù)問題，在對參數(shù)的討論中確定圓的方程。 預(yù)測 20xx 年對本講的考察是： （ 1） 2 道選擇或填空，解答題多與其他知識聯(lián)合考察，本講對于數(shù)形結(jié)合思想的考察也會是一個出題方向； （ 2）熱點問題是直線的傾斜角和斜率、直線的幾種方程形式和求圓的方程。 三．要點精講 1．傾斜角：一條直線 L 向上的方向與 X 軸的正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜角 ，范圍為 ? ??,0 。 2．斜率：當(dāng)直線的傾斜角不是 900 時，則稱其正切值為該直線的斜率，即 k=tan? 。當(dāng)直線的傾斜角等于 900 時，直線的斜率不存在。 過兩點 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠ x2)的直線的斜率公式 :k=tan1212 xx yy ???? （若 x1＝ x2，則直線 p1p2 的斜率不存在，此時直線的傾斜角為 900）。 4．直線方程的五種形式確定直 線方程需要有兩個互相獨立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。 名稱 方程 說明 適用條件 斜截式 y=kx+b k—— 斜率 傾斜角為 90176。的直線不第 15 頁 共 27 頁 b—— 縱截距 能用此式 點斜式 yy0=k(xx0) (x0， y0)—— 直線上 已知點， k—— 斜率 傾斜角為 90176。的直線不能用此式 兩點式 121yy yy?? =121xx xx?? (x1， y1)， (x2， y2)是直線上兩個已知點 與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式 截距式 ax+by=1 a—— 直線的橫截距 b—— 直線的縱截距 過（ 0， 0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式 一般式 Ax+By+C=0 BA? ， AC? ， BC? 分別為斜率、橫截距和縱截距 A、 B 不能同時為零 直線的點斜式與斜截式不能表示斜率不存在（垂直于 x 軸）的直線；兩點式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸 的直線；截距式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線及過原點的直線。 5．圓的方程 圓心為 ),( baC ，半徑為 r 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： )0()()( 222 ????? rrbyax 。特殊地，當(dāng) 0??ba 時，圓心在原點的圓的方程為： 222 ryx ?? 。 圓 的 一 般 方 程 022 ????? FEyDxyx ， 圓 心 為 點 )2,2( ED ??，半徑2 422 FEDr ??? ，其中 0422 ??? FED 。 二元二次方程 022 ?????? FEyDxCyBxyAx ，表示圓的方程的充要條件是：①、 2x 項 2y 項的系數(shù)相同且不為 0，即 0??CA ；②、沒有 xy 項，即 B=0；③、0422 ??? AFED 。 四．典例解析 題型 1：直線的傾斜角 例 1． （ 1995 全國， 5）圖中的直線 l l l3 的斜率分別為 kk k3，則（ ） A． k1＜ k2＜ k3 B． k3＜ k1＜ k2 C． k3＜ k2＜ k1 D． k1＜ k3＜ k2 圖 第 16 頁 共 27 頁 答案： D 解析：直線 l1 的傾斜角 α 1 是鈍角，故 k1＜ 0，直線 l2 與 l3 的傾斜角 α α 3 均為銳角，且 α 2＞ α 3，所以 k2＞ k3＞ 0，因此 k2＞ k3＞ k1，故應(yīng)選 D。 點評： 本題重點考查直線的傾斜角、斜率的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的能力。 例 2． 過點 P（ 2， 1）作直線 l 分別交 x 軸、 y 軸的正半軸于 A、 B 兩點，求 PA PB178。 | | 的值最小 時直線 l 的方程。 解析：依題意作圖，設(shè)∠ BAO＝ ? ， 則 PA PB? ?1 2s in cos? ?， ? ? ? ?PA PB178。 2 2 4 4 2s in cos s in cos s in? ? ? ? ?， 當(dāng) sin2 1?? ，即 ?? ?45 時 PA PB178。 | | 的值最小，此時直線 l 的傾斜角為 135176。， ∴斜率 k l ? ?? ?tan 135 1。 故直線 l 的方程為 ? ? ? ?y x? ? ? ?1 1 2178。 ，即 x y? ? ?3 0 。 點評：求直線方程是解析幾何的基礎(chǔ)，也是重要的題型。解這類題除用到有關(guān)概念和直線方程的五種形式外，還要用到一些技巧。 題型 2：斜率公式及應(yīng)用 例 3