【文章內(nèi)容簡介】 AB⊥平面 BCE． ?????? 3分 因為 CE?平面 BCE，所以 CE⊥ AB． 因為 CE⊥ BE， AB?平面 ABE， BE?平面 ABE， AB∩ BE＝ B， 所以 CE⊥平面 ABE． ?????????? 6分 因為 CE?平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 ABE． ?????????? 8分 （ 2）連結 BD交 AC于點 O，連結 OF． 因為 DE∥平面 ACF， DE?平面 BDE，平面 ACF∩平面 BDE＝ OF， 所以 DE//OF． ?????????? 12分 又因為矩形 ABCD中， O為 BD中點， 所以 F為 BE中點，即 BMBF＝ 12． ??? 14分 17． 如圖 ， 在 平面直 角 坐標 系 xOy中， 橢圓 C： x2a2＋y2b2＝ 1(a＞ b＞ 0)的離心率為32 ，以原點為圓心，橢圓 C的短半軸長為半徑的圓與直線 x－ y＋ 2＝ 0相切． （ 1）求橢圓 C的方程； （ 2） 已知點 P(0， 1)， Q(0， 2)．設 M， N是橢圓 C上關于 y軸對稱的不同 兩點， 直線 PM與 QN相 交于點 T， 求證： 點 T在 橢圓 C上 ． 解： （ 1）由題意知 b＝ 22＝ 2． 因為離心率 e＝ ca＝ 32 ，所以 ba＝ 1－ (ca)2＝ 12． 所以 a＝ 2 2． 所以 橢圓 C的方程 為 x28＋y22＝ 1． （ 2）證明：由題意可設 M， N的坐標分別為 (x0， y0)， (－ x0， y0)，則 直線 PM的方程為 y＝ y0－ 1x0x＋ 1， ① 直線 QN的方程為 y＝ y0－ 2－ x0x＋ 2． ② ?????????? 8分 A B C D E F (第 16 題圖） O 用心 愛心 專心 8 (第 18 題圖） C A B D l 證法一 聯(lián)立①②解得 x＝ x02y0－ 3， y＝ 3y0－ 42y0－ 3，即 T( x02y0－ 3， 3y0－ 42y0－ 3)．??? 11分 由 x028＋y022 ＝ 1可得 x02＝ 8－ 4y02． 因為 18( x02y0－ 3)2＋ 12(3y0－ 42y0－ 3)2＝ x02＋ 4(3y0－ 4)28(2y0－ 3)2 ＝ 8－ 4y02＋ 4(3y0－ 4)28(2y0－ 3)2 ＝32y02－ 96y0＋ 728(2y0－ 3)2 ＝8(2y0－ 3)28(2y0－ 3)2＝ 1， 所以 點 T坐標滿足 橢圓 C的方程 ，即 點 T在 橢圓 C上 ． ??????? 14分 證法二 設 T(x， y)． 聯(lián)立①②解得 x0＝ x2y－ 3， y0＝ 3y－ 42y－ 3． ????????? 11分 因為 x028 ＋y022 ＝ 1，所以18(x2y－ 3)2＋ 12(3y－ 42y－ 3)2＝ 1． 整理得 x28＋(3y－ 4)22 ＝ (2y－ 3)2，所以 x28＋9y22 － 12y＋ 8＝ 4y2－ 12y＋ 9，即 x28＋y22＝ 1． 所以 點 T坐標滿足 橢圓 C的方程 ，即 點 T在 橢圓 C上 ． ??????? 14分 18．某單位設計一個展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設一個對角線在 l上的四邊形電氣線路，如圖所示．為 充分 利用現(xiàn)有材料，邊 BC， CD用一根 5米長的材料彎折而成，邊 BA， AD用一根 9米長的材料彎折而成，要求∠ A和∠ C互補，且 AB＝ BC． （ 1）設 AB＝ x米， cosA＝ f(x)，求 f(x)的解析式，并指出 x的 取值范圍；（ 2）求四邊形 ABCD面積的最大值． 解： （ 1）在△ ABD中，由余弦定理得 BD2＝ AB2+AD2－ 2AB AD cosA． 同理 ， 在 △ CBD中 ， BD2＝ CB2+CD2－ 2CB CD cosC． ??????? 3分 因為∠ A和∠ C互補， 所以 AB2+AD2－ 2AB AD cosA＝ CB2+CD2－ 2CB CD cosC ＝ CB2+CD2＋ 2CB CD cosA． ???? 5分 即 x2+(9－ x)2－ 2 x(9－ x) cosA＝ x2+(5－ x)2＋ 2 x(5－ x) cosA． 解 得 cosA＝ 2x，即 f( x)＝ 2x．其中 x∈ (2， 5)． ????????? 8分 （ 2）四邊形 ABCD的面積 S＝ 12(AB AD+ CB CD)sinA＝ 12[x(5－ x)+x(9－ x)] 1－ cos2A． ＝ x(7－ x) 1－ (2x)2＝ (x2－ 4)(7－ x)2＝ (x2－ 4)( x2－ 14x＋ 49)．???? 11分 用心 愛心 專心 9 記 g(x)＝ (x2－ 4)( x2－ 14x＋ 49)， x∈ (2， 5)． 由 g′ (x)＝ 2x( x2－ 14x＋ 49)＋ (x2－ 4)( 2 x－ 14)＝ 2(x－ 7)(2 x2－ 7 x－ 4)＝ 0， 解得 x＝ 4(x＝ 7和 x＝－ 12舍 )． ????????? 14分 所以函數(shù) g(x)在區(qū)間 (2， 4)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間 (4， 5)內(nèi)單調(diào)遞減． 因此 g(x)的最大值為 g(4)＝ 12 9＝ 108． 所以 S的最大值為 108＝ 6 3． 答：所求四邊形 ABCD面積的最大值為 6 3m2． ????????? 16分 19．（本小題滿分 16 分） 函數(shù) f(x)＝∣ ex－ bx∣，其中 e為自然對數(shù)的底 ． （ 1）當 b＝ 1時， 求曲線 y＝ f(x)在 x＝ 1處的切線方程 ； （ 2）若函數(shù) y＝ f(x)有且只有一個零點，求實數(shù) b的取值范圍； （ 3）當 b＞ 0時，判斷函數(shù) y＝ f(x)在區(qū)間 (0， 2)上是否存在極大值．若存在，求出極大值及相應實數(shù) b的取值范圍． 解： （ 1）記 g(x)＝ ex－ bx．當 b＝ 1時， g?(x)＝ ex－ 1． 當 x＞ 0時， g?(x)＞ 0，所以 g(x)在 (0，＋∞ )上為增函數(shù)． 又 g(0)＝ 1＞ 0，所以當 x∈ (0，＋∞ )時， g(x)＞ 0． 所以當 x∈ (0，＋∞ )時， f(x)＝∣ g(x)∣＝ g(x)，所以 f?(1)＝ g?(1)＝ e－ 1． 所以曲線 y＝ f(x)在點 (1， e－ 1)處的切線方程為： y－ (e－ 1)＝ (e－ 1)(x－ 1)， 即 y＝ (e－ 1)x． ?????? 4分 （沒有說明“在 x＝ 1附近， f(x)＝ ex－ bx”的扣 1分 ) （ 2）解法一 f(x)＝ 0同解于 g(x)＝ 0，因此，只需 g(x)＝ 0有且只有一個解． 即方程 ex－ bx＝ 0有且只有一個解． 因為 x＝ 0不滿足方程，所以方程同解于 b＝ exx． ?????????? 6分 令 h(x)＝ exx， 由 h?(x)＝(x－ 1)exx2 ＝ 0得 x＝ 1． 當 x∈ (1，＋∞ )時， h?(x)＞ 0， h(x)單調(diào)遞增， h(x)∈ (e，＋ ∞ )； 當 x∈ (0， 1)時， h?(x)＜ 0， h(x)單調(diào)