【文章內(nèi)容簡介】 ，無最大值 （ C）有最大值 3，無最小值 （ D）既無最小值，也無最大值 （ 2） 函數(shù) log ( 3) 1ayx? ? ?( 0 1)aa??且， 的圖象恒過定點 A ， 若點 A 在直線 10mx ny? ? ? 上，其中 0mn? ，則 12mn? 的最小值 為 ． 點撥 ： （ 1）首先準確地作出線性約束條件下的可行域，再由 y＝－ x 經(jīng)過平移得到結論，這里關鍵就 在于轉化與化歸． （ 2）找出定點 A 的坐標， 代入直線方程，得 21mn??，由均值不等式得結果 . 解（ 1） 畫出不等式表示的平面區(qū)域，如右圖，由 z＝ x＋ y，得 y＝－ x＋ z，令 z＝ 0，畫出 y＝－ x 的圖象，當它的平行線經(jīng)過 A（ 2,0）時， z取得最小值，最小值為： z＝ 2，無最大值，故選 .B （ 2 ）函數(shù) l og ( 3 ) 1 ( 0 , 1 )ay x a a? ? ? ? ?的 圖 象 恒 過 定 點( 2, 1)A?? , ( 2 ) ( 1) 1 0mn? ? ? ? ? ? ?, 21mn?? ， ,0mn? , ∴1 2 1 2 4 4( ) ( 2 ) 4 4 2 8n m n mm n m n m n m nmn ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 易錯點 ： 可行域畫不準確，將 y＝－ x經(jīng)過平移后得到的最優(yōu)解不正確， 變式與 引申 4：（ 1） 圖 3 2 2?? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 (2020 安徽文科數(shù) )設變量 x,y 滿足 ,x y 1x y 1x???????????,則 xy?? 的最大值和最小值分別為 說明：若對數(shù)據(jù)適當?shù)念A處理，可避免對大數(shù)字進行運算 . （ A） 1， ? 1 (B) 2， ? 2 (C ) 1， ? 2 (D)2， ? 1[ （ 2）已知 0, 0ab??，則 112 abab??的最小值是（ ） A． 2 B． 22 C． 4 D． 5 本節(jié)主要考查： （ 1）一元一次不等式、一元二次不等式的性質及能轉化 為它們的分式不等式、絕對值不等式、指數(shù)與對數(shù)不等式的解法以及含字母系數(shù)不等式的解法；（ 2）基本不等式及其應用，簡單的線性規(guī)劃等問題（ 3）圖解法、換元法、分析法、綜合法等方法（ 4）數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、等價轉化思想的應用以及邏輯推理能力、運算求解能力等基本數(shù)學能力 . 點評： （ 1） 解不等式的關鍵是等價轉化 .分式不等式轉化為整式不等式；指數(shù) 與 對數(shù)不等式轉化為代數(shù)不等式；抽象函數(shù)的不等式在確定其單調(diào)性的前提下去掉函數(shù)符號轉化為代數(shù)不等式． （ 2） 在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技 巧之一 .通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式 ； 通過構造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關系 .對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法， 有時 可以使分類標準更加明晰． （ 3） 等價轉化．具體地說，分式化為整式，高次化為低次，絕對值化為非絕對值，指數(shù)與 對數(shù)化為代數(shù)式等．分類討論．分類討論的目的是處理解決問題過程中遇到的障礙，在無障礙時不要提前進行分類討論．數(shù)形結合．有些不等式的解決可化為兩個函數(shù)圖像間的位置關系的討論等幾何問題． （ 4）函數(shù)方程思想．解不等式可化為解方程或求函數(shù)圖像與 x 軸交點的問題，根據(jù)題意判斷所求解的區(qū)間．如 “ 穿 根法 ” 實際上就是一種函數(shù)方程思想． （ 5）線性規(guī)劃問題的解題步驟：①根據(jù)線性約束條件畫出可行域；②利用線性目標函數(shù)求出最優(yōu)解。最優(yōu)“整點”不一定在可行區(qū)域內(nèi)，這時需要將相近的點一一列出，再代入約束條件和目標函數(shù)逐一檢驗，得出正確答案 . （ 6）在利用基本不等式解決有關問題時，特別注意不等式成立的條件，即“一正，二定值，三相等”在使用基本不等式時，要掌握常見的恒等變形技巧。 （ 7） 不等式滲透在中學數(shù)學各個分支中，有著十分廣泛的應 用．如集合問題，方程 (組 )的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題 等， 無一不與不等式有著密切的聯(lián)系 .因此不等式應用問題體現(xiàn)了一定的靈活性、綜合性．在解決問題時，要依據(jù)題設 、 題斷的結構特點 及 內(nèi)在聯(lián)系 ， 選擇適當?shù)慕鉀Q方案，最終歸結為不等式的求解． 習題 3－ 2 1． (2020山東文科 7)設變量 x， y滿足約束條件 2 5 0200xyxyx? ? ???? ? ?????，則目標函數(shù) 2 3 1z x y? ? ?我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 的最大值為 (A)11 (B)10 (C)9 (D) 2． (2020 安徽文科 )設 ()fx= sin 2 cos 2a x b x? ，其中 a， b? R， ab? 0，若 ( ) ( )6f x f ??對一切則 x?R 恒成立，則 ① 11( ) 012f ? ?[ ② 7()10f ?＜ ()5f ? ③ ()fx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) ④ ()fx的單調(diào)遞增區(qū)間是 2, ( )63k k k Z??????? ? ????? ⑤ 存在經(jīng)過點（ a， b）的直線與函數(shù)的圖 ()fx像不相交 以上結論正確的是 （寫出 所有正確結論的編號） . 3． 已知函數(shù) f(x)＝ log2(x＋ 3x－ a)的定義域為 A，值域為 B． （ 1）當 a＝ 4時，求集合 A；（ 2）設 I＝ R 為全集，集合 M＝ {x|y＝ x2－ x＋ 1(a－ 5)x2＋ 2(a－ 5)x－ 4}，若 (CIM)∪ (CIB)＝ ○∕，求實數(shù) a 的取值范圍． 4． 解關于 x 的不等式 2)1(??xxa ＞ 1(a≠1) ． 5． 設不等式 2 2 2 0x ax a? ? ? ?的解集為 M ，如果 ? ?1,4M? ，求實數(shù) a 的取值范圍． 第三節(jié) 不等式選講 不等式選講是一個選考內(nèi)容 ,縱觀近年關于課程標準的高考試題 ,含絕對值不等式的試題常以選做題的形式出現(xiàn) ,屬于中檔偏易題 .最值與恒成立問題是高考的常考點 ,不等式的證明常與數(shù)列相結合 ,考查數(shù)學歸納法、放縮法等技能方法 ,屬于中高檔題 ,甚至是壓軸題 ,難度一般控制在 ~ 之間 . 考試要求： ⑴理解絕對值 | | | | | | | | | |a b a b a b? ? ? ? ?及其幾何意義 . ①絕對值不等式的變式： | | | | | |a b a c c b? ? ? ? ?. ② 利用絕對值的幾何意義求解幾類不等式：① ||ax b c?? ；② ||ax b c?? ；③| | | |x a x b c? ? ? ?. ⑵ 了解不等式證明的方法：如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法 . 題型一 含絕對值不等式 例 1（ 2020全國課標卷理科第 24 題）設函數(shù) ( ) 3f x x a x? ? ?,其中 0a? . （ Ⅰ ）當 1a? 時，求不等式 ( ) 3 2f x x??的解集 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 （ Ⅱ ）若不等式 ( ) 0fx? 的解集為 ? ?|1xx?? ，求 a 的值。 點撥： ⑴解含絕對值不等式的關鍵是去掉絕對值符號 . ⑵ 可考慮采用零點分段法 . 解： （Ⅰ）當 1a? 時， ( ) 3 2f x x??可化為 | 1| 2x?? , 由此可得 3x? 或 1x?? , 故不等式 ( ) 3 2f x x??的解集為 { | 3xx? 或 1}x?? . ( Ⅱ ) 由 ( ) 0fx? 的 30x a x? ? ? 此不等式化為不等式組 30xax a x??? ? ? ??或30xaa x x??? ? ? ?? 即 4xaax??????? 或2xaax???? ???? 因為 0a? ，所以不等式組的解集為 ? ?| 2axx?? 由題設可得 2a? = 1? ，故 2a? . 易錯點： ⑴ 含絕對值的不等式的轉化易出錯； ⑵不會 運用分類討論的數(shù)學思想 ,去掉絕對值符號 . 變式與引申 1： 若 2( ) , | | 1f x x x c x a? ? ? ? ?，求證： | ( ) ( ) | 2( | | 1)f x f a a? ? ?. 題型二 不等式的性質 例 2 .⑴設 0ab?? ,則 2 11()ab a a ba ???的最小值是 ( ). ⑵設 ??Rx 且 1222 ?? yx ,求 21 yx ? 的最大值 . 點撥： ⑴觀察分母能發(fā)現(xiàn)其和為 2a ,則添加 ab ab??可配湊成 2 1 1 1 1( ) ( )()a b a a b a b a a ba a b a a b??? ? ? ? ? ? ?,再利用基本不等式求解； 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 ⑵觀察已知條件 ,可將所求式子轉化為 22 12 ( )22yx ?,再利用基本不等式求解 . (1) 【 答 案 】 D 解：221 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )( ) 2 2 4a b a a b a b a a b a b a a ba a a b a b a b a a b? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,當且僅當 1ab? , ( ) 1a a b??時等號成立 .如取 2a? , 22b? 滿足條件 .選 D. （ 2）∵ 0?x ,∴ 22222 12 [ ( ) ]1 221 2 ( )2 2 2yxyx y x ??? ? ? ? ?. 又 22221 1 3( ) ( )2 2 2 2 2yyxx? ? ? ? ? ?,∴ 2 1 3 3 21 2 ( )2 2 4xy? ? ? ?,即 2max 32( 1 ) 4xy?? 易錯點： 忽視基本不等式求最值時的“一正、二定、三相等”條件 . 變式與引申 2： 已知 ,xyz R?? ,且 1x y z? ? ? ,求證 :1 4 9 36x y z? ? ?. 題型三 不等式的證明 例 3 已知 ,ab R?? ,且 1ab??,求證： 221 1 2 5( ) ( ) 2abab? ? ? ?. 點撥： 由 1ab??,得 14ab? , 22 112 2a b ab? ? ? ?,221 1 2 8a b ab? ? ?.可使問題得證 . 解： ∵ 2abab? ? ,∴ 14ab? , 22 111 2 1 2 42a b a b? ? ? ? ? ? ?,221 1 2 8a b ab? ? ?, ∴ 2 2 2 2221 1 1 1( ) ( ) 4a b a bab ab? ? ? ? ? ? ? ?1 258422? ? ? ?. 易錯點： ⑴易出現(xiàn) 2 2 2221 1 1 1 1( ) ( ) 4 2 ( ) 4 8a b a b a ba b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的錯誤； ⑵ 忽視基本不等式中等號成立的條件 . 變式與引申 3： 3b 是 1a? 和 1a? 的等比中項，則 3ab? 的最大值為 ( ). 題型四 不等式與函數(shù)的綜合應用 例 4 已知函數(shù) 2( ) ( , , )f x a x b x c a b c R? ? ? ?.當 [ 1,1]x?? 時 | ( )| 1fx? .求證：| | 1b? . 點撥： 本題中所給條件并不足以確定參數(shù) ba, ,c 的值，但應該注意到：所要求的結論不是 b的確定值 ,而是與條件相對應的“取值范圍” ,因此 ,我們可以用 (1)f? 、 (1)f 來表示 ba, ,c ,因為由已知條件有 | ( 1)| 1f ??,| (1)| 1f ? ,可使問題獲證 . 證明： 由 1( 1 ) , ( 1 ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]2f a b c f a b c b f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，從而有 11| | [ (1 ) ( 1 ) ] ( | (1 ) | | ( 1 ) |)22b f f f f? ? ? ? ? ?, ∵ | (1) | 1,| ( 1) | 1ff? ? ? , ∴我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 1| | ( | (1 ) | | ( 1 ) |) 12b f f? ? ? ?. 易錯點： ⑴不會用 (1)f? 、 (1)f 來表