20xx高考數(shù)學(xué)考前必讀要點(diǎn)(編輯修改稿)
2024-09-26 18:45 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 向量 b 在向量 a 上的射影。向量的數(shù)量積是數(shù)而不是向量，向量的射影是數(shù)而未必是正數(shù)。向量的數(shù)量積滿(mǎn)足交換率、對(duì)加（減）法的分 配率、 不滿(mǎn)足 結(jié)合率，即（ a b ） c ≠ a （ b c ），一個(gè)等式的兩邊、一個(gè)分式的分子分母不能同乘以或同除以一個(gè)向量。若 a =（ x1,y1） , b =(x2,y2),則 a b = x1 x2+y1 y2（坐標(biāo)運(yùn)算） 。在使用向量數(shù)量積的公式時(shí)，要根據(jù)題目的條件和設(shè)問(wèn)特點(diǎn)選擇使用符號(hào)運(yùn)算還是坐標(biāo)運(yùn)算。 應(yīng)用 ：（ 1）角度：||||,c o s ba baba ????且 ],0[, ???? ba ； ?? ?? ba,cos 可視為與 a 、 b同向的兩個(gè)單位 向量的數(shù)量積； a ,b 為銳角 ? a b 0 且 a 、 b 不共線， a ,b 為銳角 ? a b 0且 a 、 b 不共線； 特別地 ： ???? baba 0? x1 x2+y1 y2=0； O 是⊿ ABC 的垂心 ? ?OA ?OB = ?OB ?OC =?OC ?OA （請(qǐng)讀者證明這個(gè)結(jié)論）。 （ 2）長(zhǎng)度： aaa ??|| 即 ∣ a ∣ 2=（ a ） 2（ 符號(hào)運(yùn)算 ）；∣ a ∣ 2=x12+y12 （坐標(biāo)運(yùn)算）。 a ⊥ b ? |a b |=|a +b |（矩形），（ a b ）⊥（ a +b ） ? |a |=|b |（菱形）， |a b |2+|a +b |2=2（ |a |2+|b |2）（即平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和 ，對(duì)已知三角形三邊長(zhǎng)求中線長(zhǎng)的問(wèn)題用這個(gè)結(jié)論很快捷）。 4 關(guān)注平面向量基本定理中的關(guān)鍵詞：… 1e 、 2e 不共線…有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù) 1? 、 2? … 。 4 若 ?? ? 21 PPPP ? ，則稱(chēng)點(diǎn) P 分 有向線段 ?21PP 所成的比為λ。注意：“定比”不是“ 比”，點(diǎn)分有向線段所成的比，是用數(shù)乘向量定義的，而不是兩個(gè)向量的比。當(dāng) P 為 外分點(diǎn)時(shí)λ為負(fù)，內(nèi)分點(diǎn)時(shí)λ為正， P 為中點(diǎn)時(shí)λ =1，若起點(diǎn) 1P (x1,y1)，終點(diǎn) 2P (x2,y2)，則分點(diǎn)P (x0,y0)的坐標(biāo)為： x0= ????1 21 xx ,y0= ????1 21 yy 。由此推出：中點(diǎn)公式及三角形的重心公式 :在 ⊿ ABC 中，若 A（ x1,y1）、 B（ x2,y2）、 C（ x3,y3），則 ⊿ ABC 的重心 G（ 1 2 33x x x??，1 2 33y y y??）。 4關(guān)注點(diǎn)、函數(shù)圖象（曲線）按某向量平移導(dǎo)致的坐標(biāo)、解析式（方程）的變化；點(diǎn) M(x,y)按向量 a (m,n)平移得到點(diǎn) M‘ (x+m,y+n)；曲線 C： f(x,y)=0按向量 a (m,n)平移得到曲線 C/： f(xm,yn)=0。 函數(shù)圖象（曲線）按某向量平移的問(wèn)題可以先“翻譯”成向左（右）、向上（下）平移，再按函數(shù)圖象變換的規(guī)律“圖進(jìn)標(biāo)退”操作。 [注意 ]：向量無(wú)論怎樣平移，其坐標(biāo)都不發(fā)生變化。 4 三角形內(nèi)的三角函數(shù)問(wèn)題中，既涉及到邊又涉及到角時(shí)，往往需要進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換，正、余弦定理是實(shí)現(xiàn)三角形邊角轉(zhuǎn)換的僅有的工具。對(duì) a、 b、 c（或 sinA、 sinB、 sinC）的齊次式，可以直接用正弦定理轉(zhuǎn)換；而對(duì) a、 b、 c平方的和差形式，常用余弦定理轉(zhuǎn)換。 4 關(guān)注正弦定理中的 “外接圓”直徑，涉及三角形外接圓直徑的問(wèn)題多用正弦定理。 50、 正、余弦定理是解三角形的最主要工具； 涉及三角形中的兩個(gè)（或三個(gè)）角的問(wèn)題常用正弦定理，只涉及三角形中的一個(gè)角常用余弦定理。關(guān)注 兩定理在解相關(guān) 實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用。 5 在不等式兩邊 非負(fù) 的條件下能同時(shí)平方或開(kāi)方，具體的：當(dāng) a0,b0時(shí)， ab? anbn； 當(dāng) a0,b0 時(shí)， ab? a2b2； a2b2? |a||b|。在不等式兩邊 同號(hào) 的條件下能同時(shí)取倒數(shù)，但不等號(hào)的方向要改變，如：由 x1 2 推得的應(yīng)該是： x21 或 x0，而由 x1 2 推得的應(yīng)該是： 0x21 （別漏了“ 0x”）等。 5關(guān)注不等式 ||x||y||≤ |x177。 y|≤ |x|+|y|及其等號(hào)成立的條件；具體的： xy≥ 0? |x+y|=|x|+|y|； xy≥ 0且 |x|≥ |y|? |xy|=|x||y|； xy≥ 0且 |x|≤ |y|? |xy|=|y||x|； xy≤ 0? |xy|=|x|+|y|； xy≤ 0且 |x|≥ |y|? |x+y|=|x||y|； xy≤ 0且 |x|≤ |y|? |x+y|=|y||x|。 5 若 a 、 b ∈ R+，則222 ba ? ≥ 2ba? ≥ ab ≥ baab?2 ；當(dāng)且僅當(dāng) a =b 時(shí)等號(hào)成立； 其中包含常用不等式： 22 ba ? ≥ 2 )( 2ba? ； )11)(( baba ?? ≥ 4以及基本不等式： 2ba? ≥ ab ，若： a 、 b ∈ R，則 22 ba ? ≥ 2a b ；用基本不等式求最值時(shí)要關(guān)注變量的符號(hào)、放縮后是否為定值、等號(hào)能否成立（即：一正 、 二定、三相等， 積定和小、和定積大 ）。 5 放縮法的方法有：①添加或舍去一些項(xiàng)，如： aa ??12 ； ②將分子或分母放大（或縮?。虎劾没静坏仁?，如： 4lg)16( l g15lg)2 5lg3lg(5lg3lg 2222 ?????? ）（； 2 )1()1( ???? nnnn 等； ④利用常用結(jié)論：下列各式中 ??Nk （Ⅰ） 1)1( ???? kkkk （Ⅱ）kkkkk 2 1111 ??????； （Ⅲ）)1( 1!1 ?? kkk kkkkk 111)1( 112 ????? )2( ?k ； 111)1( 112 ????? kkkkk (Ⅳ ) )1111(21)1)(1( 1111 22 ????????? kkkkkk )2( ?k ； 5 解抽象函數(shù)的不等式離不開(kāi)函數(shù)的單調(diào)性。抽象函數(shù)的不等式反映出的函數(shù)值的大小，需借助于函數(shù)的單調(diào)性化歸為自變量的大小，特別注意定義域。畫(huà)抽象函數(shù)的“概念圖”是化抽象為形象的有效途徑；對(duì)某些有具體函數(shù)背景的抽象函數(shù)，可以從該具體函數(shù)中尋找 解題線索。 6 遇到含參不等式恒成立求參變量的范圍問(wèn)題，通常采用 分離參數(shù)法 ，轉(zhuǎn)化為求某函數(shù)的最大值（或最小值）；具體地： g(a)f(x)在 x∈ A上恒成立 ? g(a)f(x)max， g(a)f(x)在 x∈ A上恒成立 ? g(a)f(x)min， (x∈ A)。當(dāng)參變量難以分離時(shí)， 也可以用： f(a,x)0 在 x∈ A上恒成立 ? f(a,x)min0, (x∈ A)及 f(a,x)0 在 x∈ A上恒成立 ? f(a,x)max0, (x∈ A)來(lái)轉(zhuǎn)化；還可以借助于函數(shù)圖象解決問(wèn)題。特別關(guān)注：“不等式 f(a,x)≥ 0 對(duì)所有 x∈ M 恒成立”與 “不等式 f(a,x)≥ 0 對(duì)所有 a∈ M 恒成立”是兩個(gè)不同的問(wèn)題，前者是關(guān)于 x的不等式，而后者則應(yīng)視為是關(guān)于 a 的不等式。特別提醒：“判別式”只能用于“二次函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立”的問(wèn)題，其它場(chǎng)合，概不適用。 6 直線的傾斜角的范圍： [0， )? ， x軸及平行于 x軸的直線傾斜角是 0而不 是 ? ； y軸及平行于 y 軸的直線的傾斜角為 2? 而不是沒(méi)有傾斜角（只是斜率不存在）；已知斜率（的范圍）會(huì)求傾斜角（的范圍），記?。?當(dāng)傾斜角α是銳角時(shí)，斜率 k 與
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