關(guān)于收斂序列余項(xiàng)估計(jì)的一種精細(xì)化方法(編輯修改稿)
2024-09-25 21:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 n??? ? ??? ? 12nD?? （ 11） 因此，有 ? ?112 1 2nDn? ? ?? （ 12） 應(yīng)用 2 Stirling 公式的新證明 為證明 Stirling 公式 ： 12 1lim ! 2n nn nne ???? ? 令nnn enna !21?? ， 則 11 211(1 )nnnaa e n ?? ??，取對(duì)數(shù)，得 1 1 1 2 2 ( 2 1 ) 1l n l n ( ) l n ( 1 ) 1 l n 12 2 ( 2 1 ) 1nn nna a n nn? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? 再令 12 1?? nxn 則 (0,1)nx ? ，則 1 111 1 1l n l n l n 1 ( l n )2 1 2 1nnn n nn n n nxxa a xx x x x? ??? ? ? ? ??? （ 13） 為了估計(jì)（ 13），考慮輔助函數(shù)： 11( ) ln21 xf x xx???? ， (0,1)x?? （ 14） 分別對(duì) ()fx求導(dǎo)數(shù)，得 2239。( ) 1 xfx x? ? （ 15） 令 22( ) 39。( ) 1 xg x f x x???，對(duì) ()gx分別求一、二階導(dǎo)數(shù)，得 22239。( ) 0(1 )xgx x???， 2232639。39。( ) 0(1 )xgx x???? 則 ()y gx? 為嚴(yán)格單調(diào)遞增的下凸函數(shù)，且 (0) 0g ? ，示意圖見圖 3 （圖 3） 于是，有 00 ( )x g t dt AOB? ? ??的面積 232212 1 2 (1 )xxx? ? ???，即 3200 39。( ) 2 (1 )x xf t dt x?? ?? ， 故有 320 ( ) 2(1 )xfx x?? ?，因此 3211 ln2 1 2 (1 )nnnxxx? ????，由 （ 13），得到 1 111l n l n ( l n )21 nn n nnn xa a xxx? ?? ? ?? 22 12 (1 ) 8 ( 1)n nx x n n????1 1 181nn????????? 即得 1 1 1 1ln81nnaa n n? ?????????，于是，我們得到 ? ? nnnn eaea 8118 11 ??? （ 16） 令 18nnnb a e?? 則 nn bb ??1 ， ??nb 嚴(yán)格單調(diào)遞減，但 nnba? ，又因?yàn)???na 嚴(yán)格單調(diào)遞增，得到 87111 ?? ??????? ebbaae nn ?? ， 2?n 由單調(diào)有界原理得知 ??na 與 ??nb 均收斂，且 lim limnnnnba?? ???。 余下的問題就是如何確定收斂的值，應(yīng)用瓦利斯公式可得其收斂于常數(shù) ?21?C，詳情可參見文獻(xiàn) [12]，這里從略，至此公式獲證。 致謝 對(duì)指導(dǎo)教師胡付高副 教授的悉心指導(dǎo)表示衷心的感謝！ 參考文獻(xiàn) : [1] Rippon P L. Convergence with pictures[J]. ,93: 476～ 478. [2] Detemple D quicker Convergence to Euler’s constant[J]. . Monthly. 1993,100:468～ 470. [3] Young R M. Euler’s constant[J]. 1991,75:187～ 190. [4] 包那 . Euler 常數(shù)與 Euler 公式 [J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)， 1988（ 4）： 53～ 62 [5] 孫燮華 . Euler 公式的推廣及其精細(xì)化 [J].數(shù)學(xué)通報(bào)， 1982,11:22～ 25. [6] 田寅生 .一個(gè)不等式的指數(shù)推廣及應(yīng)用 [J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 .2020， 9:20～ 23 [7] 胡付高 .一個(gè)不等式的簡證及其幾何直觀 [J].中學(xué)數(shù)學(xué) 2020(2)： 7 [8] Detemple D W and Wang S integer approximations for the partial sums of the harmonic serirs[J]..,1991,160:237～ 258. [9] 歐陽光中 .近年來國外微積分 (數(shù)學(xué)分析 )教材介紹 (上 )[J].數(shù)學(xué)通報(bào)， 1992,1:30～ 33. [10] 張志軍 . 毆拉常數(shù)和斯特林公式 [J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 1998. [11] 張志軍 . 數(shù)學(xué)分析的一些新思想與新方法 [M].蘭州：蘭州大學(xué)出版社， 1998 [12] 張筑生 . 數(shù)學(xué)分析新講（第二冊） [M].北京： 北京大學(xué)出版社， 1990 [13] 徐利治 ,王興華 . 數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講 [M].北京：高等教育出版社，1996 正定矩陣集上的凹性定理 盧蘭秋 （孝感學(xué)院 數(shù)學(xué)系 021113132，湖北 孝感 432100） 摘 要： 本文將數(shù)學(xué)分析中的凹（凸）函數(shù)概念拓廣到正定矩陣集上，給出了 Minkovski不等式的一種簡單證法，進(jìn)而證明了本文的主要結(jié)果： 對(duì)任意正定矩陣 A 、 B 及 01???，有 l n (1 ) l n (1 ) l nA B A
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