【文章內(nèi)容簡介】 底邊長為 2，此時(shí) P 坐標(biāo)為（ 2， 0）。故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 2， 0），（－ 1， 0）。 7.（ 2020年 浙江金華 12分） 如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知 ΔAOB是等邊三角形，點(diǎn) A的坐 標(biāo)是 (0，4)，點(diǎn) B在第一象限，點(diǎn) P是 x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié) AP，并把 ΔAOP繞著點(diǎn) A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) .使 邊 AO與 AB重合 .得到 ΔABD。 （ 1）求直線 AB的解析式； （ 2）當(dāng)點(diǎn) P運(yùn)動到點(diǎn)（ 3 ， 0）時(shí)，求此時(shí) DP的長及點(diǎn) D的坐標(biāo)； （ 3）是否存在點(diǎn) P，使 ΔOPD的面積等于 43 ，若存在，請求出符合條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。 【答案】 解：（ 1）如圖 1，過點(diǎn) B 作 BE⊥ y 軸于點(diǎn) E，作 BF⊥ x軸于點(diǎn) F， 由已知得： OB=4,BF=OE=2， 22O F 4 2 2 3? ? ?。 ∴ 點(diǎn) B 的坐標(biāo)是（ 23 ， 2）。 設(shè)直線 AB 的解析式是 y=kx+b（ k≠0），則有 4b2 2 3k b????? ????，解得 3k 3b4? ???????。 ∴ 直線 AB 的解析式是 3y x 43?? ? 。 （ 2）如圖 2， ∵△ ABD 由 △ AOP 旋轉(zhuǎn)得到， ∴△ ABD≌△ AOP。 ∴ AP=AD， ∠ DAB=∠ PAO。 ∴∠ DAP=∠ BAO=60176。 ∴△ ADP 是等邊三角形。 ∴ 22D P A P 4 ( 3 ) 19? ? ? ?。 如圖 2，過點(diǎn) D 作 DH⊥ x軸于點(diǎn) H，延長 EB 交 DH 于點(diǎn) G，則 BG⊥ DH。 在 Rt△ BDG 中， ∠ BGD=90176。， ∠ DBG=60176。， ∴ 13B G B D c os6 0 3 22? ? ? ? ? ?， 33D G B D sin60 3 22? ? ? ? ? ?。 ∴ OH=EG= 532 ， DH=72 。 ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ 532 ， 72 ）。 （ 3）存在。 假設(shè)存在點(diǎn) P，在它的運(yùn)動過程中，使 △ OPD 的面積等于 34 。 設(shè)點(diǎn) P 為（ t， 0）， 當(dāng) D 在 x軸上時(shí)，如圖 3，過點(diǎn) B 作 BF⊥ x軸， 易得0B F 2 4 3O P B Ds in 6 0 332? ? ? ?。 ∴ P（ 43,03? ） ∴ 分三種情況討論： ① 當(dāng) t＞ 0 時(shí)，如圖 2， BD=OP=t， DG= 3t2 ， ∴ DH= 32t2? 。 ∵△ OPD 的面積等于 34 ， ∴ 1 3 3t(2 t)2 2 4??。 解得122 1 2 3 2 1 2 3tt33? ? ???，（舍去）。 ∴ 點(diǎn) P1的坐標(biāo)為（ 21 2 33? ， 0）。 ②∴ 當(dāng) 433? ＜ t≤0時(shí)，如圖 1， BD=OP=－ t， BG= 3t2? ， ∴ 33D H G F B F B G 2 t 2 t22? ? ? ? ? ? ? ?（ ）。 ∵△ OPD 的面積等于 34 ， ∴ 1 3 3t(2 t)2 2 4? ? ?。 解得123t t 33? ? ? ?。 ∴ 點(diǎn) P2的坐標(biāo)為（ 33? ， 0），點(diǎn) P3的坐標(biāo)為（ 3? ，0） ③ 當(dāng) t≤ 433? 時(shí)，如圖 4， BD=OP=－ t， DG= 3t2? ， ∴ DH= 3t22??。 ∵△ OPD 的面積等于 34 ， ∴ 1 3 3t(2 t)2 2 4??。 解得1 21 2 3t 3??（舍去）， 2 21 2 3t 3???。 ∴ 點(diǎn) P4的坐標(biāo)為（ 21 2 33??， 0）。 綜上所述， 存在點(diǎn) P，使 ΔOPD 的面積等于 34 ， 點(diǎn) P 的坐標(biāo)分別為 P1（ 21 2 33? ，0）， P2（ 33? ， 0）， P3（ 3? ， 0）， P4（ 21 2 33?? ， 0）。 【考點(diǎn)】 動點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)，等邊三角形的性質(zhì)， 勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義， 特殊角的三角函數(shù)值，解一元二次方程，分類思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1）過點(diǎn) B作 BE⊥ y 軸于點(diǎn) E，作 BF⊥ x軸于點(diǎn) F．依題意得 BF=OE=2，利用勾股定理求出 OF，然后可得點(diǎn) B 的坐標(biāo)．設(shè)直線 AB 的解析式是 y=kx+b，把已知坐標(biāo)代入可求解。 （ 2）由 △ ABD 由 △ AOP 旋轉(zhuǎn)得到，證明 △ ABD≌△ AOP ，從而 AP=AD， ∠ DAB=∠ PAO，∠ DAP=∠ BAO=60176。， △ ADP 是等邊三角形。利用勾股定理求出 DP。在 Rt△ BDG 中， ∠ BGD=90176。， ∠ DBG=60176。，利用三角函數(shù)求出 BG=BD?cos60176。， DG=BD?sin60176。．然后求出 OH， DH，然后求出點(diǎn) D 的坐標(biāo)。 （ 3）分 t＞ 0， 433? ＜ t≤0， t≤ 433? 三種情況進(jìn)行討論。 8.（ 2020 年 浙江寧波 12 分） 如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（－ 8， 0），直線BC 經(jīng)過點(diǎn) B（－ 8， 6）， C（ 0， 6），將四邊形 OABC 繞點(diǎn) O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) α度得到四邊形 OA′B′C′，此時(shí) OA′、 B′C′分別與直線 BC 相交于 P、 Q． （ 1）四邊形 OABC 的形狀是 ，當(dāng) 90?? 176。 時(shí)， BPBQ的值是 ； （ 2） ① 如圖 2，當(dāng)四邊形 OA′B′C′的頂點(diǎn) B′落在 y 軸正半軸時(shí)，求 BPBQ的值； ② 如圖 3，當(dāng)四邊形 OA′B′C′的頂點(diǎn) B′落在直線 BC 上時(shí)，求 OPB39?！?的面積． （ 3）在四邊形 OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) 0 180?? ? 176。 時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn) P 和點(diǎn) Q，使 BP Q12 B? ？若存在，請直接寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【答案】 解：（ 1）矩形； 47 ， （ 2） ① 如圖 2， ∵∠ POC=∠ B′OA′， ∠ PCO=∠ OA′B′=90176。， ∴△ COP∽△ A′OB′。 ∴ CP OCAB OA?? ? ? 。 ∵ A′B′=AB=6， OC=6， OA′=OA=8， ∴ CP 668? ， CP=92 。 ∵ BC=OA=8， ∴ BP=BC－ CP=72 。 同理 △ B′CQ∽△ B′C′O， ∴ CQ BCCO BC??? ? ? 。 ∵ C′O=CO=6， B′C′=BC=8， 22O B 6 8 10?? ? ?， B′C=10－ 6=4， ∴ CQ 468? ， CQ=3。 ∴ BQ=BC+CQ=11。 ∴ 7BP 72BQ 11 22??。 ② 如圖 3， 在 △ OCP 和 △ B′A′P中， ∵ O P C B P AO CP A 90O C B A? ? ? ? ????? ? ? ?? ??????， ∴△ OCP≌△ B′A′P（ AAS）。 ∴ OP=B′P。 設(shè) B′P=x， 在 Rt△ OCP 中， ? ?2 228 x 6 x? ? ? ，解得 x= 254 。 ∴O P B 1 2 5 7 5S62 4 4??? ? ? ?。 （ 3）存在這樣的點(diǎn) P 和點(diǎn) Q，使 BP=12 BQ，點(diǎn) P 的坐標(biāo)是1 3P 9 6 62????????，2 7P64???????。 【考點(diǎn)】 面動問題，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)， 全等、相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，分類思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可判定四邊形 OABC 的形狀是矩形； 當(dāng) 90?? 176。 時(shí)， B P B P 8 4=B Q B P +P Q 8 6 7??? 。 （ 2） ① 利用相似三角形求得 CP 的比，就可求得 BP， BQ 的值。 ② 根據(jù)勾股定理求得 PB′的長，再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算。 （ 3）構(gòu)造全等三角形和直角三角形，運(yùn)用勾股定理求得 PC 的長，進(jìn)一步求得坐標(biāo)： 過點(diǎn) Q 作 QH⊥ OA′于 H，連接 OQ，則 QH=OC′=OC， ∵P O Q P O Q11S P Q O C S O P Q H22??? ? ? ?， ∴ PQ=OP。 設(shè) BP=x， ∵ BP=12 BQ， ∴ BQ=2x。 如圖，當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) B 左側(cè)時(shí)， OP=PQ=BQ+BP=3x， 在 Rt△ PCO 中， ? ? ? ?2228 x 6 3x? ? ? 。 解得1233x 1 6 x 1 622? ? ? ?，（不符實(shí)際，舍去）。 ∴ 3P C B C B P 9 62? ? ? ?。 ∴1 3P 9 6 62????????。 如圖，當(dāng) 點(diǎn) P 在點(diǎn) B 右側(cè)時(shí)， OP=PQ=BQBP=x， PC=8－ x， 在 Rt△ PCO 中， ? ?2 228 x 6 x? ? ? ， 解得 25x 4? 。 ∴ 2 5 7P C B C B P 8 44? ? ? ? ?。 ∴2 7P64???????。 綜上可知，存在點(diǎn)1 3P 9 6 62????????， ，2 7P64???????，使 BP=12 BQ。 9.（ 2020 年 浙江舟山、嘉興 14 分） 如圖，已知 A、 B 是線段 MN 上的兩點(diǎn)， MN=4， MA=1， MB＞ 1．以 A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn) M，以 B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn) N，使 M、 N 兩點(diǎn)重合成一點(diǎn) C，構(gòu)成 △ ABC，設(shè) AB=x． （ 1）求 x的取值范圍； （ 2）若 △ ABC 為直角三角形，求 x的值； （ 3）探究： △ ABC 的最大面積？ 【答案】 解：（ 1） ∵ 在 △ ABC 中， AC=1， AB=x， BC=3－ x， ∴ 1 x 3 x1 3 x x? ? ??? ? ? ??，解得 1 x 2??。 （ 2） ① 若 AC 為斜邊，則 221 x (3 x)? ? ? ，即 2x 3x 4 0? ? ? ，無解 ； ② 若 AB 為斜邊，則 22x (3 x) 1? ? ? ，解得 5x 3? ，滿足 1 x 2?? ． ③ 若 BC 為斜邊，則 22(3 x) 1 x? ? ? ，解得 4x 3? ，滿足 1 x 2?? 。 綜上所述， 若 △ ABC 為直角三角形， 則 5x 3? 或 4x 3? 。 （ 3）在 △ ABC 中，作 CD AB? 于 D， 設(shè) CD h? ， △ ABC 的面積為 S，則 1S xh2? ． ① 若點(diǎn) D 在線段 AB 上， 則 2 2 21 h ( 3 x ) h x? ? ? ? ?， ∴ 2 2 2 2 2( 3 x ) h x 2x 1 h 1 h? ? ? ? ? ? ?， 即 2x 1 h 3x 4? ? ?。 ∴ 2 2 2x (1 h ) 9 x 2 4 x 1 6? ? ? ?，即 2 2 2x h 8 x 2 4 x 1 6? ? ? ?。 ∴ 2 2 2 2 21 3 1 4S x h 2 x 6 x 4 2 ( x ) x 24 2 2 3??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????。 當(dāng) 3x 2? 時(shí)（滿足 4 x23??）， 2 S 取最大值 12 ，從而 S 取最大值 22 。 ② 若點(diǎn) D 在線段 MA上， 則 2 2 2( 3 x ) h 1 h x? ? ? ? ?， 同理可得， 2 2 23 1 4S 2 x 6 x 4 2 ( x ) 1 x2 2 3??? ? ? ? ? ? ? ? ?????， ∵ 4332 ，∴當(dāng) 41x3 ? 時(shí)， 2S 隨 x的增大而增大。 ∴ 當(dāng) 4x 3? 時(shí)， 2S 取最大值 49 ，從而 S 取最大值 23 。 綜合 ①② ， ∵ 2232 ，∴ △ ABC 的最大面積為 22 。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，線 旋轉(zhuǎn) 問題， 三角形三邊關(guān)系 ，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1）因?yàn)樗?AB 或 x在 △ ABC 中，所以可利用三角形三邊之間的關(guān)系即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊進(jìn)行解答 。 （ 2）應(yīng)該分情況討論 ，因?yàn)椴恢涝谌切沃心囊粋€(gè)是作為斜邊存在的 ， 所以有三種情況，即： ①若 AC 為斜邊 ，② 若 AB 為斜邊， ③ 若 BC 為斜邊 ，分別求解即可。 （ 3）在 △ ABC 中， AB 的值固定不變，即可視為底邊不變，但是因?yàn)槿切涡螤畈还潭?，高在發(fā)生變化，所以造成面積不固定，需分情況進(jìn)行討論．具體分 ① 若點(diǎn) D在線段 AB 上， ② 若點(diǎn) D 在線段 MA上兩種情況 。 10.（ 2020 年 浙江金華 12 分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A（ 0， 6），點(diǎn) B 是 x 軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)AB，取 AB 的中點(diǎn) M，將線段 MB繞著點(diǎn) B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90o，得到線段 B 作 x軸的垂線交直線 AC 于點(diǎn) B 坐標(biāo)是（ t， 0） . （ 1）當(dāng) t=4 時(shí)，求直線 AB 的解析式； （ 2）當(dāng) t0 時(shí)，用含 t 的代數(shù)