【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 83?? （ 18）（本題滿分 11 分） ① 證明拉格朗日中值定理，若函數(shù) ()fx 在 ? ?,ab上連續(xù)，在 ? ?,ab上可導(dǎo)，則? ?,ab?? ，得證 ? ?39。( ) ( ) ( )f b f a f b a?? ? ?. ② 證明：若函數(shù) ()fx在 0x? 處連續(xù)，在 ? ?0, ,( 0)??? 內(nèi)可導(dǎo)，且 39。0lim ( )x f x A?? ?，則39。 (0)f? 存在，且 39。 (0)fA? ? . 【解析】（Ⅰ）作輔助函數(shù) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f b f ax f x f a x aba? ?? ? ? ??，易驗(yàn)證 ()x? 滿足： ( ) ( )ab??? ； ()x? 在 閉 區(qū) 間 ? ?,ab 上 連 續(xù) ， 在 開 區(qū) 間 ? ?,ab 內(nèi) 可 導(dǎo) ， 且39。39。 ( ) ( )( ) ( ) f b f ax f x ba? ??? ?。 根據(jù)羅爾定理，可得在 ? ?,ab 內(nèi)至少有一點(diǎn) ? ，使 39。 ( ) 0??? ，即 39。()f ? 39。( ) ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b f a f b aba ??? ? ? ? ? ?? （Ⅱ）任取 0 (0, )x ?? ，則函數(shù) ()fx滿足； 在閉區(qū)間 ? ?00,x 上連續(xù)，開區(qū)間 ? ?00,x 內(nèi)可導(dǎo)，從而有拉格朗日中值定理可得：存在? ? ? ?0 00, 0,x x????，使得 ? ?039。 00( ) ( 0)0x f x ff x? ?? ?…… ??* 又由于 ? ?39。0limx f x A?? ?，對(duì)上式（ *式）兩邊取 0 0x ?? 時(shí)的極限可得： ? ? ? ? 00000039。 39。 39。0 0 00( ) 00 l im l im ( ) l im ( )0xxxxxf x ff f f Ax???? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? 故 39。(0)f? 存在，且 39。(0)fA? ? 。 （ 19）（本題滿分 10 分） 設(shè)曲線 ()y f x? ，其中 ()y f x? 是可導(dǎo)函數(shù)，且 ( ) 0fx? .已知曲線 ()y f x? 與直線0, 1yx??及 ( 1)x t t??所圍成的曲邊梯形，繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積值是繞曲邊 梯形面積值的 t? 倍，求該曲線方程。 【解析】旋轉(zhuǎn)體的體積為 22( ) ( )11xxttV f dx f dx?????? 曲邊梯形的面積為：()1 xts f dx??，則由題可知 22( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1x x x xt t t tV ts f d x t f d x f d x t f d x? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 兩邊對(duì) t 求導(dǎo)可得 22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11t x t t t xttf f d x tf f tf f d x? ? ? ? ??? 繼續(xù)求導(dǎo)可得 39。39。2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t tf t f t? ? ?，化簡(jiǎn)可得 39。 1( 2 ( ) ) ( ) 2 ( ) 12dtf t t f t f t td y y? ? ? ? ?，解之得 12 23t c y y?? ? ? 在 式中 令 1t? ，則 2 ( 1 ) ( 1 ) 0 , ( ) 0 , ( 1 ) 1f f f t f? ? ? ? ?，代入 12 23t cy y???得1 1 1, ( 2 )33c t yy? ? ? ?。 所以該曲線方程為： 12 3 0yxy? ? ?。 （ 20）（本題滿分 11 分） 設(shè) 1 1 1A = 1 1 10 4 2???????????,1112???????????? ① 求滿足 21A??? ， 2 31A??? 的所有向量 2? ， 3? . ② 對(duì) ① 中的任意向量 2? , 3? 證明 1? , 2? , 3? 線性無(wú)關(guān)。 【解析】（Ⅰ）解方程 21A??? ? ?11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, 1 1 1 1 0 0 0 0 0 2 1 10 4 2 2 0 2 1 1 0 0 0 0A ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ( ) 2rA? 故有一個(gè)自由變量， 令 3 2x? ，由 0Ax? 解得， 211, 1xx?? ? 求特解，令 120xx??，得 3 1x? 故21101021k?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ，其中 1k 為任意常數(shù) 解方程 2 31A??? 22 2 02 2 04 4 0A????? ? ??? ? ?2 111 1 02 2 0 1 2, 2 2 0 1 0 0 0 04 4 0 2 0 0 0 0A ???????????? ? ? ? ???? ???? 故有兩個(gè)自由變量，令 2 1x?? ，由 2 0Ax? 得 131, 0xx?? 求特解 21200???????????????? 故 3211 21000k???????????? ? ??????? ???????? ，其中 2k 為任意常數(shù) （Ⅱ）證明： 由于121 2 1 2 1 2 1 2 2 11112 111 2 ( 2 1 ) ( ) 2 ( ) ( 2 1 )222 2 1 0kkk k k k k k k k k kk??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 1 02?? 故 1 2 3,?? ? 線性無(wú)關(guān) . （ 21）（本題滿分 11 分） 設(shè)二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 3 2 3( , , ) ( 1 ) 2 2f x x x a x a x a x x x x x? ? ? ? ? ? ① 求二次型 f 的矩陣的所有特征值。 ② 若二次型 1 2 3( , , )f x x x 的規(guī)范型為 2211yy? ，求 a 的值。 【解析】（Ⅰ） 01011 1 1aAaa?????????? 01 10| | 0 1 ( ) 1 1 1 11 1 1a aaE A a a aa? ??? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 222( ) [ ( ) ( 1 ) 1 ] [ 0 ( ) ]( ) [ ( ) ( 1 ) 2]( ) [ 2 2]19( ) { [ ( 1 2 ) ] }24( ) ( 2) ( 1 )a a a aa a aa a a aa a aa a a? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 2 3, 2 , 1a a a? ? ?? ? ? ? ? ? （Ⅱ） 若規(guī)范形為 2212yy? ，說(shuō)明有兩個(gè)特征值為正，一個(gè)為 0。則 1) 若 1 0a??? ，則 2 20? ?? ? ， 3 1?? ，不符題意 2) 若 2 0?? ，即 2a? ，則 1 20??? ， 3 30??? ，符合 3) 若 3 0?? ，即 1a?? ，則 1 10? ?? ? ， 2 30? ?? ? ，不符題意 綜上所述，故 2a? （ 22）（本題滿分 11 分） 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( , )XY 的概率密度為 0( , )0xe y xf x y ?? ??? ?? 其 他 ① 求條件概率密度 ()YXf yx ② 求條件概率 11P X Y? ? ? ? ??? 【解析】 （ I）由 0( , )0x yxef x y ? ???? ??????? 其 它 得其邊緣密度函數(shù) 0( ) 0x xxxf x e d y xe x??? ? ???? ?? 故 | ( , ) 1( | ) 0()yx xf x yf y x y xf x x? ? ????? ? ? 即 |1( | )0yxyxf y x x? ???????? ? ? ??? ?? ???????????????? 其 它 （ II） [ 1 , 1 ][ 1 | 1 ][ 1 ]P X YP X Y PY??? ? ? ? 而 1110 0 011[ 1 , 1 ] ( , ) 1 2x xxxyP X Y f x y dx dy dx e dy x e dx e? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ( ) | , 0x x yY yf y e d x e e yy?? ? ? ???? ? ? ? ?? ?? ?? 1 1101[ 1 ] | 1 10yyP Y e dy e e e? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 111 2 2[ 1 | 1 ] 11eeP X Y????? ?? ? ? ? ? （ 23）（本題滿分 11 分） 袋中有一個(gè)紅球，兩個(gè)黑球，三個(gè)白球，現(xiàn)在放回的從袋中取兩次，每次取一個(gè)，求以 X 、Y 、 Z 分別表示兩次取球所取得的紅、黑與白球的個(gè)數(shù)。 ① 求 10P X Z? ? ? ???. ② 求二維隨機(jī)變量 ( , )XY 的概率分布 . 【解析】（Ⅰ）在沒有取白球的情況下取了一次紅球，利用壓縮樣本空間則相當(dāng)于只有 1 個(gè)紅球， 2 個(gè)黑球放回摸兩次，其中摸了一個(gè)紅球 1211332 4( 1 0 ) 9CP X Z CC?? ? ? ? ?? （Ⅱ） X， Y 取值范圍為 0， 1， 2，故 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?1 1 1 13 3 2 31 1 1 16 6 6 61112 2 31 1 1 16 6 6 61122116611221166110 , 0 , 1 , 0461 1 12 , 0 , 0 , 136 311 , 1 , 2 , 1 0910 , 291 , 2 0 , 2 , 2 0C C C CP X Y P X YC C C CCCCP X Y P X YC C C CCCP X Y P X YCCCCP X YCCP X Y P X Y??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ? X Y 0 1 2 0 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9 0 2 1/9 0 0 2020 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題 一、選擇題： 1～ 8小題，每小題 4分，共 32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上 . (1) 若011lim ( ) 1xx aexx???? ? ?????， 則 a 等于 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 (2) 設(shè) 1y ， 2y 是一階線性非齊次微分方程 39。 ( ) ( )y p x y q x x??的兩個(gè)特解，若常數(shù) ? ，u 使 12y uy? ? 是該方程的