【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 f(x)是單調(diào)函數(shù). [ ] （9）設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，則曲線y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ]（10）設(shè)區(qū)域，f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a,b為常數(shù)，則(A) . (B) . (C) . (D) . [ ]（11）設(shè)函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)， 具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有 (A) . （B） .(C) . (D) . [ ]（12）設(shè)函數(shù)則(A) x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點(diǎn). （B） x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點(diǎn).(C) x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第二類間斷點(diǎn).(D) x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第一類間斷點(diǎn). [ ]（13）設(shè)是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則，線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . [ ]（14）設(shè)A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B的伴隨矩陣，則 [ ](D) 交換的第1列與第2列得. (B) 交換的第1行與第2行得. (C) 交換的第1列與第2列得. (D) 交換的第1行與第2行得. 三 、解答題（本題共9小題，、證明過(guò)程或演算步驟.）（15）（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且，求極限（16）（本題滿分11分）如圖，和分別是和的圖象，過(guò)點(diǎn)(0,1)的曲線是一單調(diào)增函數(shù)的圖象. 過(guò)上任一點(diǎn)M(x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線和. 記與所圍圖形的面積為；與所圍圖形的面積為如果總有，求曲線的方程（17）（本題滿分11分）如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線與分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處的切線，其交點(diǎn)為(2,4). 設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分（18）（本題滿分12分） 用變量代換化簡(jiǎn)微分方程，并求其滿足的特解.（19）（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1. 證明：（I）存在 使得；（II）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得（20）（本題滿分10分）已知函數(shù)z=f(x,y) 的全微分，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在橢圓域上的最大值和最小值.（21）（本題滿分9分）計(jì)算二重積分，其中.（22）（本題滿分9分）確定常數(shù)a,使向量組可由向量組線性表示，但向量組不能由向量組線性表示.（23）（本題滿分9分）已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解.2004年考碩數(shù)學(xué)（二）真題一. 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上. ）（1）設(shè), 則的間斷點(diǎn)為 .（2）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程 確定, 則曲線向上凸的取值范圍為_(kāi)___..（3）_____..（4）設(shè)函數(shù)由方程確定, 則______.（5）微分方程滿足的特解為_(kāi)______.（6）設(shè)矩陣, 矩陣滿足, 其中為的伴隨矩陣, 是單位矩陣, 則______.二. 選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求, 把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi). ）（7）把時(shí)的無(wú)窮小量, , 排列起來(lái), 使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小, 則正確的排列次序是（A） （B）（C） （D） （8）設(shè), 則（A）是的極值點(diǎn), 但不是曲線的拐點(diǎn).（B）不是的極值點(diǎn), 但是曲線的拐點(diǎn).（C）是的極值點(diǎn), 且是曲線的拐點(diǎn).（D）不是的極值點(diǎn), 也不是曲線的拐點(diǎn). （9）等于（A）. （B）.（C）. （D） （10）設(shè)函數(shù)連續(xù), 且, 則存在, 使得（A）在內(nèi)單調(diào)增加.（B）在內(nèi)單調(diào)減小.（C）對(duì)任意的有.（D）對(duì)任意的有. （11）微分方程的特解形式可設(shè)為（A）.（B）.（C）.（D） （12）設(shè)函數(shù)連續(xù), 區(qū)域, 則等于（A）.（B）.（C）.（D） （13）設(shè)是3階方陣, 將的第1列與第2列交換得, 再把的第2列加到第3列得, 則滿足的可逆矩陣為（A）. （B）. （C）. （D）. （14）設(shè),為滿足的任意兩個(gè)非零矩陣, 則必有（A）的列向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān).（B）的列向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān).（C）的行向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān).（D）的行向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān). 三. 解答題（本題共9小題，滿分94分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. ）（15）（本題滿分10分）求極限.（16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在（）上有定義, 在區(qū)間上, , 若對(duì)任意的都滿足, 其中為常數(shù).(Ⅰ)寫(xiě)出在上的表達(dá)式。 (Ⅱ)問(wèn)為何值時(shí), 在處可導(dǎo).（17）（本題滿分11分）設(shè),(Ⅰ)證明是以為周期的周期函數(shù)。(Ⅱ)求的值域.（18）（本題滿分12分）曲線與直線及圍成一曲邊梯形. 該曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體, 其體積為, 側(cè)面積為, 在處的底面積為.(Ⅰ)求的值。 (Ⅱ)計(jì)算極限.（19）（本題滿分12分）設(shè), 證明.（20）（本題滿分11分）某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí),為了減小滑行距離,在觸地的瞬間,飛機(jī)尾部張開(kāi)減速傘,以增大阻力,減速傘打開(kāi)后,飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為).問(wèn)從著陸點(diǎn)算起,飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少? 注 表示千克,表示千米/小時(shí).（21）（本題滿分10分）設(shè),其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求.（22）（本題滿分9分）設(shè)有齊次線性方程組試問(wèn)取何值時(shí), 該方程組有非零解, 并求出其通解.（23）（本題滿分9分）設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根, 求的值, 并討論是否可相似對(duì)角化.2003年考研數(shù)學(xué)（二）真題三、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1） 若時(shí)， 與是等價(jià)無(wú)窮小，則a= .（2） 設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程所確定，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是 .（3） 的麥克勞林公式中項(xiàng)的系數(shù)是__________.（4） 設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為 ，則該曲線上相應(yīng)于從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為_(kāi)_________.（5） 設(shè)為3維列向量，是的轉(zhuǎn)置. 若，則= .（6） 設(shè)三階方陣A,B滿足，其中E為三階單位矩陣，若，則________.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（1）設(shè)均為非負(fù)數(shù)列，且,則必有(A) 對(duì)任意n成立. (B) 對(duì)任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在. [ ]（2）設(shè), 則極限等于 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ]（3）已知是微分方程的解，則的表達(dá)式為 （A） (B) (C) (D) [ ]（4）設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(A) 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn). (B) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). (C) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). [ ] y O x（5）設(shè), 則 (A) (B) (C) (D) [ ]（6）設(shè)向量組I：可由向量組II：線性表示，則 (A) 當(dāng)時(shí)，向量組II必線性相關(guān). (B) 當(dāng)時(shí)，向量組II必線性相關(guān). (C) 當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān). (D) 當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān). [ ]三 、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù) 問(wèn)a為何值時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)；a為何值時(shí)，x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn)？四 、（本題滿分9分） 設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程所確定，求五 、（本題滿分9分）計(jì)算不定積分 六 、（本題滿分12分） 設(shè)函數(shù)y=y(x)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且是y=y(x)的反函數(shù).(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件的解.七 、（本題滿分12分）討論曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).八 、（本題滿分12分） 設(shè)位于第一象限的曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)，其上任一點(diǎn)P(x,y)處的法線與y軸的交點(diǎn)為Q，且線段PQ被x軸平分.(2) 求曲線 y=f(x)的方程；(3) 已知曲線y=sinx在上的弧長(zhǎng)為，試用表示曲線y=f(x)的弧長(zhǎng)s.九 、（本題滿分10分）有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面（如圖），容器的底面圓的半徑為2 ，當(dāng)以的速率向容器內(nèi)注入液體時(shí)，液面的面積將以的速率均勻擴(kuò)大（假設(shè)注入液體前，容器內(nèi)無(wú)液體）.(2) 根據(jù)t時(shí)刻液面的面積，寫(xiě)出t與之間的關(guān)系式；(3) 求曲線的方程.(注：m表示長(zhǎng)度單位米，min表示時(shí)間單位分.)十 、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且 若極限存在，證明：(1) 在(a,b)內(nèi)f(x)0。 (2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)，使；(3) 在(a,b) 內(nèi)存在與(2)中相異的點(diǎn)，使十 一、（本題滿分10分）若矩陣相似于對(duì)角陣，試確定常數(shù)a的值；并求可逆矩陣P使十二 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為1552014年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答案一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）B（2）B（3）D（4）C（5）D（6）A（7）B（8）A二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.（9） （10） （11） （12） （13） （14）[2,2]三、解答題：15—23小題，、證明過(guò)程或演算步驟.（15）【答案】（16） 【答案】因?yàn)? ，①得到。所以時(shí)，取極大值。時(shí)，取極小值。由①可知，因?yàn)椋?。所以時(shí)，取極大值。時(shí)，取極小值。（17） 【答案】（18） 【答案】令，則，故由得（19） 【答案】證明：1）因?yàn)?，所以有定積分比較定理可知，即。2）令由1）可知，所以。由是單調(diào)遞增，可知由因?yàn)椋?，單調(diào)遞增，所以，得證。（20） 【答案】因?yàn)樗运裕?1）【答案】（22）【答案】① ②（23）【答案】利用相似對(duì)角化的充要條件證明。2013年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題 1—8小題．每小題4分，共32分．１．【詳解】顯然當(dāng)時(shí)，故應(yīng)該選（C）．2．【分析】本題考查的隱函數(shù)的求導(dǎo)法則信函數(shù)在一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義．【詳解】將代入方程得，在方程兩邊求導(dǎo)，得，代入，知．，故應(yīng)該選（A）．３．【詳解】只要注意是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)，則應(yīng)該是連續(xù)點(diǎn)，但不可導(dǎo)．應(yīng)選（Ｃ）．４．【詳解】，其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才收斂；而第二個(gè)反常積分，當(dāng)且僅當(dāng)才收斂．從而僅當(dāng)時(shí)，反常積分才收斂，故應(yīng)選（Ｄ）．５．【詳解】．應(yīng)該