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正文內(nèi)容

考研數(shù)學(xué)二歷年真題及答案詳解(20xx—20xx)(編輯修改稿)

2024-07-20 02:51 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 f(x)是單調(diào)函數(shù). [ ] (9)設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定,則曲線y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ](10)設(shè)區(qū)域,f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù),a,b為常數(shù),則(A) . (B) . (C) . (D) . [ ](11)設(shè)函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù), 具有一階導(dǎo)數(shù),則必有 (A) . (B) .(C) . (D) . [ ](12)設(shè)函數(shù)則(A) x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點(diǎn). (B) x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點(diǎn).(C) x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn),x=1是f(x)的第二類間斷點(diǎn).(D) x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn),x=1是f(x)的第一類間斷點(diǎn). [ ](13)設(shè)是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為,則,線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . [ ](14)設(shè)A為n()階可逆矩陣,交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B的伴隨矩陣,則 [ ](D) 交換的第1列與第2列得. (B) 交換的第1行與第2行得. (C) 交換的第1列與第2列得. (D) 交換的第1行與第2行得. 三 、解答題(本題共9小題,、證明過(guò)程或演算步驟.)(15)(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù),且,求極限(16)(本題滿分11分)如圖,和分別是和的圖象,過(guò)點(diǎn)(0,1)的曲線是一單調(diào)增函數(shù)的圖象. 過(guò)上任一點(diǎn)M(x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線和. 記與所圍圖形的面積為;與所圍圖形的面積為如果總有,求曲線的方程(17)(本題滿分11分)如圖,曲線C的方程為y=f(x),點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn),直線與分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處的切線,其交點(diǎn)為(2,4). 設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),計(jì)算定積分(18)(本題滿分12分) 用變量代換化簡(jiǎn)微分方程,并求其滿足的特解.(19)(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=0,f(1)=1. 證明:(I)存在 使得;(II)存在兩個(gè)不同的點(diǎn),使得(20)(本題滿分10分)已知函數(shù)z=f(x,y) 的全微分,并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在橢圓域上的最大值和最小值.(21)(本題滿分9分)計(jì)算二重積分,其中.(22)(本題滿分9分)確定常數(shù)a,使向量組可由向量組線性表示,但向量組不能由向量組線性表示.(23)(本題滿分9分)已知3階矩陣A的第一行是不全為零,矩陣(k為常數(shù)),且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解.2004年考碩數(shù)學(xué)(二)真題一. 填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分. 把答案填在題中橫線上. )(1)設(shè), 則的間斷點(diǎn)為 .(2)設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程 確定, 則曲線向上凸的取值范圍為____..(3)_____..(4)設(shè)函數(shù)由方程確定, 則______.(5)微分方程滿足的特解為_______.(6)設(shè)矩陣, 矩陣滿足, 其中為的伴隨矩陣, 是單位矩陣, 則______.二. 選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求, 把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi). )(7)把時(shí)的無(wú)窮小量, , 排列起來(lái), 使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小, 則正確的排列次序是(A) (B)(C) (D) (8)設(shè), 則(A)是的極值點(diǎn), 但不是曲線的拐點(diǎn).(B)不是的極值點(diǎn), 但是曲線的拐點(diǎn).(C)是的極值點(diǎn), 且是曲線的拐點(diǎn).(D)不是的極值點(diǎn), 也不是曲線的拐點(diǎn). (9)等于(A). (B).(C). (D) (10)設(shè)函數(shù)連續(xù), 且, 則存在, 使得(A)在內(nèi)單調(diào)增加.(B)在內(nèi)單調(diào)減小.(C)對(duì)任意的有.(D)對(duì)任意的有. (11)微分方程的特解形式可設(shè)為(A).(B).(C).(D) (12)設(shè)函數(shù)連續(xù), 區(qū)域, 則等于(A).(B).(C).(D) (13)設(shè)是3階方陣, 將的第1列與第2列交換得, 再把的第2列加到第3列得, 則滿足的可逆矩陣為(A). (B). (C). (D). (14)設(shè),為滿足的任意兩個(gè)非零矩陣, 則必有(A)的列向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān).(B)的列向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān).(C)的行向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān).(D)的行向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān). 三. 解答題(本題共9小題,滿分94分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. )(15)(本題滿分10分)求極限.(16)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)在()上有定義, 在區(qū)間上, , 若對(duì)任意的都滿足, 其中為常數(shù).(Ⅰ)寫出在上的表達(dá)式。 (Ⅱ)問(wèn)為何值時(shí), 在處可導(dǎo).(17)(本題滿分11分)設(shè),(Ⅰ)證明是以為周期的周期函數(shù)。(Ⅱ)求的值域.(18)(本題滿分12分)曲線與直線及圍成一曲邊梯形. 該曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體, 其體積為, 側(cè)面積為, 在處的底面積為.(Ⅰ)求的值。 (Ⅱ)計(jì)算極限.(19)(本題滿分12分)設(shè), 證明.(20)(本題滿分11分)某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí),為了減小滑行距離,在觸地的瞬間,飛機(jī)尾部張開減速傘,以增大阻力,減速傘打開后,飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為).問(wèn)從著陸點(diǎn)算起,飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少? 注 表示千克,表示千米/小時(shí).(21)(本題滿分10分)設(shè),其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求.(22)(本題滿分9分)設(shè)有齊次線性方程組試問(wèn)取何值時(shí), 該方程組有非零解, 并求出其通解.(23)(本題滿分9分)設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根, 求的值, 并討論是否可相似對(duì)角化.2003年考研數(shù)學(xué)(二)真題三、 填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分. 把答案填在題中橫線上)(1) 若時(shí), 與是等價(jià)無(wú)窮小,則a= .(2) 設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程所確定,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是 .(3) 的麥克勞林公式中項(xiàng)的系數(shù)是__________.(4) 設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為 ,則該曲線上相應(yīng)于從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為__________.(5) 設(shè)為3維列向量,是的轉(zhuǎn)置. 若,則= .(6) 設(shè)三階方陣A,B滿足,其中E為三階單位矩陣,若,則________.二、選擇題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)均為非負(fù)數(shù)列,且,則必有(A) 對(duì)任意n成立. (B) 對(duì)任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在. [ ](2)設(shè), 則極限等于 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ](3)已知是微分方程的解,則的表達(dá)式為 (A) (B) (C) (D) [ ](4)設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù),其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示,則f(x)有(A) 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn). (B) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). (C) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). [ ] y O x(5)設(shè), 則 (A) (B) (C) (D) [ ](6)設(shè)向量組I:可由向量組II:線性表示,則 (A) 當(dāng)時(shí),向量組II必線性相關(guān). (B) 當(dāng)時(shí),向量組II必線性相關(guān). (C) 當(dāng)時(shí),向量組I必線性相關(guān). (D) 當(dāng)時(shí),向量組I必線性相關(guān). [ ]三 、(本題滿分10分)設(shè)函數(shù) 問(wèn)a為何值時(shí),f(x)在x=0處連續(xù);a為何值時(shí),x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn)?四 、(本題滿分9分) 設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程所確定,求五 、(本題滿分9分)計(jì)算不定積分 六 、(本題滿分12分) 設(shè)函數(shù)y=y(x)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且是y=y(x)的反函數(shù).(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程;(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件的解.七 、(本題滿分12分)討論曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).八 、(本題滿分12分) 設(shè)位于第一象限的曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn),其上任一點(diǎn)P(x,y)處的法線與y軸的交點(diǎn)為Q,且線段PQ被x軸平分.(2) 求曲線 y=f(x)的方程;(3) 已知曲線y=sinx在上的弧長(zhǎng)為,試用表示曲線y=f(x)的弧長(zhǎng)s.九 、(本題滿分10分)有一平底容器,其內(nèi)側(cè)壁是由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面(如圖),容器的底面圓的半徑為2 ,當(dāng)以的速率向容器內(nèi)注入液體時(shí),液面的面積將以的速率均勻擴(kuò)大(假設(shè)注入液體前,容器內(nèi)無(wú)液體).(2) 根據(jù)t時(shí)刻液面的面積,寫出t與之間的關(guān)系式;(3) 求曲線的方程.(注:m表示長(zhǎng)度單位米,min表示時(shí)間單位分.)十 、(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且 若極限存在,證明:(1) 在(a,b)內(nèi)f(x)0。 (2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn),使;(3) 在(a,b) 內(nèi)存在與(2)中相異的點(diǎn),使十 一、(本題滿分10分)若矩陣相似于對(duì)角陣,試確定常數(shù)a的值;并求可逆矩陣P使十二 、(本題滿分8分)已知平面上三條不同直線的方程分別為 , , .試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為1552014年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答案一、選擇題:1~8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)B(2)B(3)D(4)C(5)D(6)A(7)B(8)A二、填空題:914小題,每小題4分,共24分,請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.(9) (10) (11) (12) (13) (14)[2,2]三、解答題:15—23小題,、證明過(guò)程或演算步驟.(15)【答案】(16) 【答案】因?yàn)? ,①得到。所以時(shí),取極大值。時(shí),取極小值。由①可知,因?yàn)?,所以。所以時(shí),取極大值。時(shí),取極小值。(17) 【答案】(18) 【答案】令,則,故由得(19) 【答案】證明:1)因?yàn)?,所以有定積分比較定理可知,即。2)令由1)可知,所以。由是單調(diào)遞增,可知由因?yàn)椋?,單調(diào)遞增,所以,得證。(20) 【答案】因?yàn)樗运裕?1)【答案】(22)【答案】① ②(23)【答案】利用相似對(duì)角化的充要條件證明。2013年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題 1—8小題.每小題4分,共32分.1.【詳解】顯然當(dāng)時(shí),故應(yīng)該選(C).2.【分析】本題考查的隱函數(shù)的求導(dǎo)法則信函數(shù)在一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義.【詳解】將代入方程得,在方程兩邊求導(dǎo),得,代入,知.,故應(yīng)該選(A).3.【詳解】只要注意是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn),則應(yīng)該是連續(xù)點(diǎn),但不可導(dǎo).應(yīng)選(C).4.【詳解】,其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才收斂;而第二個(gè)反常積分,當(dāng)且僅當(dāng)才收斂.從而僅當(dāng)時(shí),反常積分才收斂,故應(yīng)選(D).5.【詳解】.應(yīng)該
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