【文章內容簡介】 f(x)是單調函數. [ ] （9）設函數y=y(x)由參數方程確定，則曲線y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點的橫坐標是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ]（10）設區(qū)域，f(x)為D上的正值連續(xù)函數，a,b為常數，則(A) . (B) . (C) . (D) . [ ]（11）設函數, 其中函數具有二階導數， 具有一階導數，則必有 (A) . （B） .(C) . (D) . [ ]（12）設函數則(A) x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點.(C) x=0是f(x)的第一類間斷點，x=1是f(x)的第二類間斷點.(D) x=0是f(x)的第二類間斷點，x=1是f(x)的第一類間斷點. [ ]（13）設是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為，則，線性無關的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . [ ]（14）設A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B的伴隨矩陣，則 [ ](D) 交換的第1列與第2列得. (B) 交換的第1行與第2行得. (C) 交換的第1列與第2列得. (D) 交換的第1行與第2行得. 三 、解答題（本題共9小題，、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分11分）設函數f(x)連續(xù)，且，求極限（16）（本題滿分11分）如圖，和分別是和的圖象，過點(0,1)的曲線是一單調增函數的圖象. 過上任一點M(x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線和. 記與所圍圖形的面積為；與所圍圖形的面積為如果總有，求曲線的方程（17）（本題滿分11分）如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(3,2)是它的一個拐點，直線與分別是曲線C在點(0,0)與(3,2)處的切線，其交點為(2,4). 設函數f(x)具有三階連續(xù)導數，計算定積分（18）（本題滿分12分） 用變量代換化簡微分方程，并求其滿足的特解.（19）（本題滿分12分）已知函數f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內可導，且f(0)=0,f(1)=1. 證明：（I）存在 使得；（II）存在兩個不同的點，使得（20）（本題滿分10分）已知函數z=f(x,y) 的全微分，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在橢圓域上的最大值和最小值.（21）（本題滿分9分）計算二重積分，其中.（22）（本題滿分9分）確定常數a,使向量組可由向量組線性表示，但向量組不能由向量組線性表示.（23）（本題滿分9分）已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數），且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解.2004年考碩數學（二）真題一. 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上. ）（1）設, 則的間斷點為 .（2）設函數由參數方程 確定, 則曲線向上凸的取值范圍為____..（3）_____..（4）設函數由方程確定, 則______.（5）微分方程滿足的特解為_______.（6）設矩陣, 矩陣滿足, 其中為的伴隨矩陣, 是單位矩陣, 則______.二. 選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求, 把所選項前的字母填在題后的括號內. ）（7）把時的無窮小量, , 排列起來, 使排在后面的是前一個的高階無窮小, 則正確的排列次序是（A） （B）（C） （D） （8）設, 則（A）是的極值點, 但不是曲線的拐點.（B）不是的極值點, 但是曲線的拐點.（C）是的極值點, 且是曲線的拐點.（D）不是的極值點, 也不是曲線的拐點. （9）等于（A）. （B）.（C）. （D） （10）設函數連續(xù), 且, 則存在, 使得（A）在內單調增加.（B）在內單調減小.（C）對任意的有.（D）對任意的有. （11）微分方程的特解形式可設為（A）.（B）.（C）.（D） （12）設函數連續(xù), 區(qū)域, 則等于（A）.（B）.（C）.（D） （13）設是3階方陣, 將的第1列與第2列交換得, 再把的第2列加到第3列得, 則滿足的可逆矩陣為（A）. （B）. （C）. （D）. （14）設,為滿足的任意兩個非零矩陣, 則必有（A）的列向量組線性相關,的行向量組線性相關.（B）的列向量組線性相關,的列向量組線性相關.（C）的行向量組線性相關,的行向量組線性相關.（D）的行向量組線性相關,的列向量組線性相關. 三. 解答題（本題共9小題，滿分94分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. ）（15）（本題滿分10分）求極限.（16）（本題滿分10分）設函數在（）上有定義, 在區(qū)間上, , 若對任意的都滿足, 其中為常數.(Ⅰ)寫出在上的表達式。 (Ⅱ)問為何值時, 在處可導.（17）（本題滿分11分）設,(Ⅰ)證明是以為周期的周期函數。(Ⅱ)求的值域.（18）（本題滿分12分）曲線與直線及圍成一曲邊梯形. 該曲邊梯形繞軸旋轉一周得一旋轉體, 其體積為, 側面積為, 在處的底面積為.(Ⅰ)求的值。 (Ⅱ)計算極限.（19）（本題滿分12分）設, 證明.（20）（本題滿分11分）某種飛機在機場降落時,為了減小滑行距離,在觸地的瞬間,飛機尾部張開減速傘,以增大阻力,減速傘打開后,飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比例系數為).問從著陸點算起,飛機滑行的最長距離是多少? 注 表示千克,表示千米/小時.（21）（本題滿分10分）設,其中具有連續(xù)二階偏導數,求.（22）（本題滿分9分）設有齊次線性方程組試問取何值時, 該方程組有非零解, 并求出其通解.（23）（本題滿分9分）設矩陣的特征方程有一個二重根, 求的值, 并討論是否可相似對角化.2003年考研數學（二）真題三、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1） 若時， 與是等價無窮小，則a= .（2） 設函數y=f(x)由方程所確定，則曲線y=f(x)在點(1,1)處的切線方程是 .（3） 的麥克勞林公式中項的系數是__________.（4） 設曲線的極坐標方程為 ，則該曲線上相應于從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為__________.（5） 設為3維列向量，是的轉置. 若，則= .（6） 設三階方陣A,B滿足，其中E為三階單位矩陣，若，則________.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（1）設均為非負數列，且,則必有(A) 對任意n成立. (B) 對任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在. [ ]（2）設, 則極限等于 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ]（3）已知是微分方程的解，則的表達式為 （A） (B) (C) (D) [ ]（4）設函數f(x)在內連續(xù)，其導函數的圖形如圖所示，則f(x)有(A) 一個極小值點和兩個極大值點. (B) 兩個極小值點和一個極大值點. (C) 兩個極小值點和兩個極大值點.(D) 三個極小值點和一個極大值點. [ ] y O x（5）設, 則 (A) (B) (C) (D) [ ]（6）設向量組I：可由向量組II：線性表示，則 (A) 當時，向量組II必線性相關. (B) 當時，向量組II必線性相關. (C) 當時，向量組I必線性相關. (D) 當時，向量組I必線性相關. [ ]三 、（本題滿分10分）設函數 問a為何值時，f(x)在x=0處連續(xù)；a為何值時，x=0是f(x)的可去間斷點？四 、（本題滿分9分） 設函數y=y(x)由參數方程所確定，求五 、（本題滿分9分）計算不定積分 六 、（本題滿分12分） 設函數y=y(x)在內具有二階導數，且是y=y(x)的反函數.(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件的解.七 、（本題滿分12分）討論曲線與的交點個數.八 、（本題滿分12分） 設位于第一象限的曲線y=f(x)過點，其上任一點P(x,y)處的法線與y軸的交點為Q，且線段PQ被x軸平分.(2) 求曲線 y=f(x)的方程；(3) 已知曲線y=sinx在上的弧長為，試用表示曲線y=f(x)的弧長s.九 、（本題滿分10分）有一平底容器，其內側壁是由曲線繞y軸旋轉而成的旋轉曲面（如圖），容器的底面圓的半徑為2 ，當以的速率向容器內注入液體時，液面的面積將以的速率均勻擴大（假設注入液體前，容器內無液體）.(2) 根據t時刻液面的面積，寫出t與之間的關系式；(3) 求曲線的方程.(注：m表示長度單位米，min表示時間單位分.)十 、（本題滿分10分）設函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，且 若極限存在，證明：(1) 在(a,b)內f(x)0。 (2)在(a,b)內存在點，使；(3) 在(a,b) 內存在與(2)中相異的點，使十 一、（本題滿分10分）若矩陣相似于對角陣，試確定常數a的值；并求可逆矩陣P使十二 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于一點的充分必要條件為1552014年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學二試題答案一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）B（2）B（3）D（4）C（5）D（6）A（7）B（8）A二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9） （10） （11） （12） （13） （14）[2,2]三、解答題：15—23小題，、證明過程或演算步驟.（15）【答案】（16） 【答案】因為 ，①得到。所以時，取極大值。時，取極小值。由①可知，因為，所以。所以時，取極大值。時，取極小值。（17） 【答案】（18） 【答案】令，則，故由得（19） 【答案】證明：1）因為，所以有定積分比較定理可知，即。2）令由1）可知，所以。由是單調遞增，可知由因為，所以，單調遞增，所以，得證。（20） 【答案】因為所以所以（21）【答案】（22）【答案】① ②（23）【答案】利用相似對角化的充要條件證明。2013年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學二試題解析一、選擇題 1—8小題．每小題4分，共32分．１．【詳解】顯然當時，故應該選（C）．2．【分析】本題考查的隱函數的求導法則信函數在一點導數的定義．【詳解】將代入方程得，在方程兩邊求導，得，代入，知．，故應該選（A）．３．【詳解】只要注意是函數的跳躍間斷點，則應該是連續(xù)點，但不可導．應選（Ｃ）．４．【詳解】，其中當且僅當時才收斂；而第二個反常積分，當且僅當才收斂．從而僅當時，反常積分才收斂，故應選（Ｄ）．５．【詳解】．應該