【正文】 數(shù)學(xué)二歷年考研試題及答案詳解（2003~2014） 2013年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題 1—8小題．每小題4分，共32分．１．設(shè)，當(dāng)時(shí)， （ ）（A）比高階的無窮小 （B）比低階的無窮?。–）與同階但不等價(jià)無窮小 （D）與等價(jià)無窮小2．已知是由方程確定，則（ ）（A）2 （B）1 （C）1 （D）2３．設(shè)，則（ ）（Ａ）為的跳躍間斷點(diǎn)． （Ｂ）為的可去間斷點(diǎn)．　　　?。ǎ茫┰谶B續(xù)但不可導(dǎo)． （Ｄ）在可導(dǎo)．４．設(shè)函數(shù)，且反常積分收斂，則（ ）（A） （B） （C） （D）５．設(shè)函數(shù)，其中可微，則（ ）（A） （B）（C） （D）6．設(shè)是圓域的第象限的部分，記，則（ ）（A） （B） （C） （D）7．設(shè)Ａ，Ｂ，Ｃ均為階矩陣，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，則（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià)．（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)．（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià)．（D）矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià)．8．矩陣與矩陣相似的充分必要條件是（A） （B），為任意常數(shù)（C） （D），為任意常數(shù)二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9． ．10．設(shè)函數(shù)，則的反函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù) ．11．設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程為為參數(shù)，則L所圍成的平面圖形的面積為 ．12．曲線上對(duì)應(yīng)于處的法線方程為 ．13．已知是某個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程三個(gè)解，則滿足方程的解為 ．14．設(shè)是三階非零矩陣，為其行列式，為元素的代數(shù)余子式，且滿足，則= ．三、解答題15．（本題滿分10分）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，求常數(shù)．16．（本題滿分10分）設(shè)D是由曲線，直線及軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形，分別是D繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積，若，求的值．17．（本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域D是由曲線所圍成，求．18．（本題滿分10分）設(shè)奇函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：（1）存在，使得；（2）存在，使得．19．（本題滿分10分）求曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離和最短距離．20．（本題滿分11）設(shè)函數(shù)⑴求的最小值；⑵設(shè)數(shù)列滿足，證明極限存在，并求此極限．21．（本題滿分11）設(shè)曲線L的方程為．（1）求L的弧長(zhǎng)．（2）設(shè)D是由曲線L，直線及軸所圍成的平面圖形，求D的形心的橫坐標(biāo)．22．本題滿分11分）設(shè)，問當(dāng)為何值時(shí)，存在矩陣C，使得，并求出所有矩陣C．23（本題滿分11分）設(shè)二次型．記．（1）證明二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為 ；（2）若正交且為單位向量，證明在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 ．2012年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題:18小題,每小題4分,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)曲線的漸近線條數(shù) ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù),則 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 設(shè)，則數(shù)列有界是數(shù)列收斂的 ( )(A) 充分必要條件 (B) 充分非必要條件 (C) 必要非充分條件 (D) 非充分也非必要(4) 設(shè)則有 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 設(shè)函數(shù)為可微函數(shù)，且對(duì)任意的都有則使不等式成立的一個(gè)充分條件是 ( )(A) (B) (C) (D) (6) 設(shè)區(qū)域由曲線圍成，則 ( )(A) (B) 2 (C) 2 (D) (7) 設(shè), , , ,其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的為 ( )(A) (B) (C) (D) (8) 設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，則 ( )(A) (B) (C) (D)二、填空題：914小題,每小題4分,.(9) 設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則 .(10) .(11) 設(shè)其中函數(shù)可微，則 .(12) 微分方程滿足條件的解為 .(13) 曲線上曲率為的點(diǎn)的坐標(biāo)是 .(14) 設(shè)為3階矩陣，為伴隨矩陣，若交換的第1行與第2行得矩陣，則 . 三、解答題：1523小題,、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分 10 分)已知函數(shù)，記，(I)求的值。(II)若時(shí)，與是同階無窮小，求常數(shù)的值.(16)(本題滿分 10 分)求函數(shù)的極值.(17)(本題滿分12分)過點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,又與軸交于點(diǎn),區(qū)域由與直線圍成,求區(qū)域的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.(18)(本題滿分 10 分)計(jì)算二重積分，其中區(qū)域?yàn)榍€與極軸圍成.(19)(本題滿分10分)已知函數(shù)滿足方程及,(I) 求的表達(dá)式。(II) 求曲線的拐點(diǎn).(20)(本題滿分10分) 證明,.(21)(本題滿分10 分)(I)證明方程，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根；(II)記(I)中的實(shí)根為，證明存在，并求此極限.(22)(本題滿分11 分)設(shè)，(I) 計(jì)算行列式；(II) 當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，方程組有無窮多解，并求其通解.(23)(本題滿分11 分)已知，二次型的秩為2，(I) 求實(shí)數(shù)的值；(II) 求正交變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形.2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、 選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。（1）已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)與是等價(jià)無窮小，則（ ）（A） （B）（C） （D）（2）設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）（3）函數(shù)的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（4）微分方程的特解形式為（ ）（A） （B）（C） （D）（5）設(shè)函數(shù)，均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值的一個(gè)充分條件是（ ）（A）， （B），（C）， （D）， （6）設(shè)，，則，的大小關(guān)系為（ ） （A） （B） （C） （D）（7）設(shè)為3階矩陣，將的第2列加到第1列得矩陣，再交換的第2行與第3行得單位矩陣。記，則=（ ） （A） （B） （C） （D）（8）設(shè)是4階矩陣，為的伴隨矩陣。若是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系可為（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空題：9～14小題，每小題4分，共24分。請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上。（9） 。（10）微分方程滿足條件的解為 。（11）曲線 的弧長(zhǎng) 。（12）設(shè)函數(shù) ，則 。（13）設(shè)平面區(qū)域由直線，圓及軸所圍成，則二重積分 。（14）二次型，則的正慣性指數(shù)為 。三、解答題：15～23小題，共94分。請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)字說明、證明過程或演算步驟。（15）（本題滿分10分） 已知函數(shù)，設(shè)，試求的取值范圍。（16）（本題滿分11分） 設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程 確定，求的極值和曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。（17）（本題滿分9分） 設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)可導(dǎo)且在處取得極值，求。（18）（本題滿分10分） 設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線與直線相切于原點(diǎn)，記為曲線在點(diǎn)處切線的傾角，若，求的表達(dá)式。（19）（本題滿分10分） （I）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立。 （II）設(shè)，證明數(shù)列收斂。（20）（本題滿分11分） 一容器的內(nèi)側(cè)是由圖中曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲線由與連接而成。 （I）求容器的容積； （II）若將容器內(nèi)盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功？（長(zhǎng)度單位：，重力加速度為，水的密度為）（21）（本題滿分11分） 已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，，其中，計(jì)算二重積分。（22）（本題滿分11分） 設(shè)向量組，不能由向量組，線性表示。 （I）求的值； （II）將用線性表示。（23）（本題滿分11分） 設(shè)為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，的秩為2，且。 （I）求的所有的特征值與特征向量； （II）求矩陣。2010年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一選擇題(1)A0 B1 C2 D3，若常數(shù)使是該方程的解，是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則A B C D(1)A4e B3e C2e De,則反常積分的收斂性A僅與取值有關(guān) B僅與取值有關(guān) C與取值都有關(guān) D與取值都無關(guān),其中為可微函數(shù),且則=A B C D 6.(4)= A B C D，下列命題正確的是：A若向量組I線性無關(guān)，則 B若向量組I線性相關(guān)，則rsC若向量組II線性無關(guān)，則 D若向量組II線性相關(guān)，則rs(A) 設(shè)為4階對(duì)稱矩陣,且若的秩為3,則相似于A B C D 二填空題=__________10. 曲線的漸近線方程為_______________11. 函數(shù)12.13. 已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)l以2cm/s的速率增加，寬w以3cm/s的速率增加，則當(dāng)l=12cm,w=5cm時(shí)，它的對(duì)角線增加的速率為___________14. 設(shè)A，B為3階矩陣，且三解答題15.16.(1)比較與的大小,說明理由. (2)記求極限17. 設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程18. 一個(gè)高為l的柱體形貯油罐，底面是長(zhǎng)軸為2a,短軸為2b的橢圓。現(xiàn)將貯油罐平放，當(dāng)油罐中油面高度為時(shí)，計(jì)算油的質(zhì)量。（長(zhǎng)度單位為m，質(zhì)量單位為kg，油的密度為）19.20.21. 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=,證明：存在22.，正交矩陣Q使得為對(duì)角矩陣，若Q的第一列為，求a、Q.2009年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（1）函數(shù)的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則（ ）1. 2. 3. 無窮多個(gè).（2）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則（ ）. . . .（3）設(shè)函數(shù)的全微分為，則點(diǎn)（ ）不是的連續(xù)點(diǎn). 不是的極值點(diǎn). 是的極大值點(diǎn). 是的極小值點(diǎn).（4）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則（ ）. . . .（5）若不變號(hào)，且曲線在點(diǎn)上的曲率圓為，則在區(qū)間內(nèi)（ ）