高中數(shù)學知識點精選(編輯修改稿)
2025-04-05 22:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 再延長FQ和的延長線交于一點M，由公理3，點M在平面和平面的交線上，連PM交于點K 高中政治，則QK和KP又是兩條交線．同理可以找到FR和RE兩條交線（如圖2).因此，六邊形PERFQK就是所求的截面． 二、讀圖 圖形中往往包含著深刻的意義，對圖形理解的程度影響著我們的正確解題，所以讀懂圖形是解決問題的重要一環(huán)．例2 如圖3，在棱長為a的正方體中，EF是棱AB上的一條線段，且EF＝b＜a，若Q是上的定點，P在上滑動，則四面體PQEF的體積（ ）． ?。ˋ)是變量且有最大值（B）是變量且有最小值（C）是變量無最大最小值（D）是常量 分析：此題的解決需要我們仔細分析圖形的特點．這個圖形有很多不確定因素，線段EF的位置不定，點P在滑動，但在這一系列的變化中是否可以發(fā)現(xiàn)其中的穩(wěn)定因素？求四面體的體積要具備哪些條件？ 仔細觀察圖形，應該以哪個面為底面？觀察，我們發(fā)現(xiàn)它的形狀位置是要變化的，但是底邊EF是定值，且P到EF的距離也是定值，故它的面積是定值．再發(fā)現(xiàn)點Q到面PEF的距離也是定值．因此，四面體PQEF的體積是定值．我們沒有一點計算，對圖形的分析幫助我們解決了問題． 三、用圖 在立體幾何的學習中，我們會遇到許多似是而非的結論．要證明它我們一時無法完成，這時我們可考慮通過構造一個特殊的圖形來推翻結論，這樣的圖形就是反例圖形．若我們的心中有這樣的反例圖形，那就可以幫助我們迅速作出判斷． 例3判斷下面的命題是否正確：底面是正三角形且相鄰兩側面所成的二面角都相等的三棱椎是正三棱錐． 分析：這是一個學生很容易判斷錯誤的問題．大家認為該命題正確，其實是錯誤的，但大家一時舉不出例子來加以說明．問題的關鍵是二面角相等很難處理．我們是否可以考慮用一個正三棱錐通過變形得到？ 如圖4，設正三棱錐的側面等腰三角形PAB的頂角是，底角是，作的平分線，交PA于E，連接EC．可以證明是等腰三角形，所以AB＝BE．同理EC＝AB．那么，△EBC是正三角形，從而就是滿足題設的三棱錐，但不是正三棱錐． 四、造圖 在立體幾何的學習中，我們可以根據(jù)題目的特征，精心構造一個相應的特殊幾何模型，將陌生復雜的問題轉化為熟悉簡單的問題． 例4 設a、b、c是兩兩異面的三條直線，已知，且d是a、b的公垂線，如果，那么c與d的位置關系是（ ）． ?。ˋ）相交 （B）平行（C）異面（D）異面或平行 分析：判斷空間直線的位置關系，最佳是構造恰當?shù)膸缀螆D形，它具有直觀和易于判斷的優(yōu)點．根據(jù)本題的特點，可以考慮構造正方體，如圖5，在正方體 中，令AB＝a，BC＝d，．當c為直線時，c與d平行；當c為直線時，c與d異面，故選D． 五、拼圖 空間基本圖形由點、線、面構成，而一些特殊的圖形也可以通過基本圖形拼接得到．在拼圖的過程中，我們會發(fā)現(xiàn)一些變和不變的東西，從中感悟出這個圖形的特點，找出解決待求解問題的方法． 例5給出任意的一塊三角形紙片，要求剪拼成一個直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請設計一種方案，并加以簡要的說明． 分析：這是2022年立體幾何題中的一部分．這個設計新穎的題目，使許多平時做慣了證明、計算題的學生一籌莫展．這是一道動作題，但它不僅是簡單的剪剪拼拼的動作，更重要的是一種心靈的“動作”，思維的“動作”．受題目敘述的影響，大家往往在想如何折起來？參考答案也是給了一種折的方法．那么這種方法究竟從何而來？其實逆向思維是這題的一個很好的切人點．我們思考：展開一個直三棱柱，如何還原成一個三角形？ 把一個直三棱柱展開后可得到甲、乙兩部分，甲內(nèi)部的三角形和乙是全等的，甲的三角形外是寬相等的三個矩形．現(xiàn)在的問題是能否把乙分為三部分，補在甲的三個角上正好成為一個三角形（如圖丙）？因為甲中三角形外是寬相等的矩形，所以三角形的頂點應該在原三角形的三條角平分線上，又由于面積要相等，所以甲中的三角形的頂點應該在原三角形的內(nèi)心和頂點的連線段的39。中點上（如圖?。催@樣的設計，剪開后可以折成一個直三棱柱． 六、變圖 幾何圖形千變?nèi)f化，在不斷的變化中展示幾何圖形的魅力，在不斷的變化中培養(yǎng)我們的能力，在有意無意的變化中開闊我們的思路． 例6 已知在三棱錐中，PA＝a，AB＝AC＝2a，求三棱錐的體積． 分析：此題的解決方法很多，但切割是不錯的選擇． 思路1 設D為AB的中點，依題意有：，所以有： 此解法實際上是把三棱錐一分為二，三棱錐BPAD的底面是直角三角形，高就是BD，從而大大簡化了計算．這種分割的方法也是立體幾何解題中的一種重要策略．它化復雜為簡單，化未知為已知． 思路2 從點A出發(fā)的三條棱兩兩夾角為，故可補形為正四面體． 如圖，延長AP至S，使PA＝PS，連SB、SC，于是四
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