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正文內(nèi)容

高中數(shù)學(xué)知識點精選(編輯修改稿)

2025-04-05 22:04 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 再延長FQ和的延長線交于一點M,由公理3,點M在平面和平面的交線上,連PM交于點K 高中政治,則QK和KP又是兩條交線.同理可以找到FR和RE兩條交線(如圖2).因此,六邊形PERFQK就是所求的截面.  二、讀圖  圖形中往往包含著深刻的意義,對圖形理解的程度影響著我們的正確解題,所以讀懂圖形是解決問題的重要一環(huán).例2 如圖3,在棱長為a的正方體中,EF是棱AB上的一條線段,且EF=b<a,若Q是上的定點,P在上滑動,則四面體PQEF的體積( ).  (A)是變量且有最大值(B)是變量且有最小值(C)是變量無最大最小值(D)是常量  分析:此題的解決需要我們仔細分析圖形的特點.這個圖形有很多不確定因素,線段EF的位置不定,點P在滑動,但在這一系列的變化中是否可以發(fā)現(xiàn)其中的穩(wěn)定因素?求四面體的體積要具備哪些條件?  仔細觀察圖形,應(yīng)該以哪個面為底面?觀察,我們發(fā)現(xiàn)它的形狀位置是要變化的,但是底邊EF是定值,且P到EF的距離也是定值,故它的面積是定值.再發(fā)現(xiàn)點Q到面PEF的距離也是定值.因此,四面體PQEF的體積是定值.我們沒有一點計算,對圖形的分析幫助我們解決了問題.  三、用圖  在立體幾何的學(xué)習(xí)中,我們會遇到許多似是而非的結(jié)論.要證明它我們一時無法完成,這時我們可考慮通過構(gòu)造一個特殊的圖形來推翻結(jié)論,這樣的圖形就是反例圖形.若我們的心中有這樣的反例圖形,那就可以幫助我們迅速作出判斷.  例3判斷下面的命題是否正確:底面是正三角形且相鄰兩側(cè)面所成的二面角都相等的三棱椎是正三棱錐.  分析:這是一個學(xué)生很容易判斷錯誤的問題.大家認為該命題正確,其實是錯誤的,但大家一時舉不出例子來加以說明.問題的關(guān)鍵是二面角相等很難處理.我們是否可以考慮用一個正三棱錐通過變形得到?  如圖4,設(shè)正三棱錐的側(cè)面等腰三角形PAB的頂角是,底角是,作的平分線,交PA于E,連接EC.可以證明是等腰三角形,所以AB=BE.同理EC=AB.那么,△EBC是正三角形,從而就是滿足題設(shè)的三棱錐,但不是正三棱錐.  四、造圖  在立體幾何的學(xué)習(xí)中,我們可以根據(jù)題目的特征,精心構(gòu)造一個相應(yīng)的特殊幾何模型,將陌生復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉簡單的問題.  例4 設(shè)a、b、c是兩兩異面的三條直線,已知,且d是a、b的公垂線,如果,那么c與d的位置關(guān)系是( ).  (A)相交 (B)平行(C)異面(D)異面或平行  分析:判斷空間直線的位置關(guān)系,最佳是構(gòu)造恰當?shù)膸缀螆D形,它具有直觀和易于判斷的優(yōu)點.根據(jù)本題的特點,可以考慮構(gòu)造正方體,如圖5,在正方體 中,令A(yù)B=a,BC=d,.當c為直線時,c與d平行;當c為直線時,c與d異面,故選D.  五、拼圖  空間基本圖形由點、線、面構(gòu)成,而一些特殊的圖形也可以通過基本圖形拼接得到.在拼圖的過程中,我們會發(fā)現(xiàn)一些變和不變的東西,從中感悟出這個圖形的特點,找出解決待求解問題的方法.  例5給出任意的一塊三角形紙片,要求剪拼成一個直三棱柱模型,使它的全面積與給出的三角形的面積相等,請設(shè)計一種方案,并加以簡要的說明.  分析:這是2022年立體幾何題中的一部分.這個設(shè)計新穎的題目,使許多平時做慣了證明、計算題的學(xué)生一籌莫展.這是一道動作題,但它不僅是簡單的剪剪拼拼的動作,更重要的是一種心靈的“動作”,思維的“動作”.受題目敘述的影響,大家往往在想如何折起來?參考答案也是給了一種折的方法.那么這種方法究竟從何而來?其實逆向思維是這題的一個很好的切人點.我們思考:展開一個直三棱柱,如何還原成一個三角形?  把一個直三棱柱展開后可得到甲、乙兩部分,甲內(nèi)部的三角形和乙是全等的,甲的三角形外是寬相等的三個矩形.現(xiàn)在的問題是能否把乙分為三部分,補在甲的三個角上正好成為一個三角形(如圖丙)?因為甲中三角形外是寬相等的矩形,所以三角形的頂點應(yīng)該在原三角形的三條角平分線上,又由于面積要相等,所以甲中的三角形的頂點應(yīng)該在原三角形的內(nèi)心和頂點的連線段的39。中點上(如圖?。催@樣的設(shè)計,剪開后可以折成一個直三棱柱.  六、變圖  幾何圖形千變?nèi)f化,在不斷的變化中展示幾何圖形的魅力,在不斷的變化中培養(yǎng)我們的能力,在有意無意的變化中開闊我們的思路.  例6 已知在三棱錐中,PA=a,AB=AC=2a,求三棱錐的體積.  分析:此題的解決方法很多,但切割是不錯的選擇.  思路1 設(shè)D為AB的中點,依題意有:,所以有:  此解法實際上是把三棱錐一分為二,三棱錐BPAD的底面是直角三角形,高就是BD,從而大大簡化了計算.這種分割的方法也是立體幾何解題中的一種重要策略.它化復(fù)雜為簡單,化未知為已知.  思路2 從點A出發(fā)的三條棱兩兩夾角為,故可補形為正四面體.  如圖,延長AP至S,使PA=PS,連SB、SC,于是四
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