高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)精選(編輯修改稿)
2025-04-05 22:04 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 再延長(zhǎng)FQ和的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)M，由公理3，點(diǎn)M在平面和平面的交線上，連PM交于點(diǎn)K 高中政治，則QK和KP又是兩條交線．同理可以找到FR和RE兩條交線（如圖2).因此，六邊形PERFQK就是所求的截面． 二、讀圖 圖形中往往包含著深刻的意義，對(duì)圖形理解的程度影響著我們的正確解題，所以讀懂圖形是解決問(wèn)題的重要一環(huán)．例2 如圖3，在棱長(zhǎng)為a的正方體中，EF是棱AB上的一條線段，且EF＝b＜a，若Q是上的定點(diǎn)，P在上滑動(dòng)，則四面體PQEF的體積（ ）． ?。ˋ)是變量且有最大值（B）是變量且有最小值（C）是變量無(wú)最大最小值（D）是常量 分析：此題的解決需要我們仔細(xì)分析圖形的特點(diǎn)．這個(gè)圖形有很多不確定因素，線段EF的位置不定，點(diǎn)P在滑動(dòng)，但在這一系列的變化中是否可以發(fā)現(xiàn)其中的穩(wěn)定因素？求四面體的體積要具備哪些條件？ 仔細(xì)觀察圖形，應(yīng)該以哪個(gè)面為底面？觀察，我們發(fā)現(xiàn)它的形狀位置是要變化的，但是底邊EF是定值，且P到EF的距離也是定值，故它的面積是定值．再發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q到面PEF的距離也是定值．因此，四面體PQEF的體積是定值．我們沒(méi)有一點(diǎn)計(jì)算，對(duì)圖形的分析幫助我們解決了問(wèn)題． 三、用圖 在立體幾何的學(xué)習(xí)中，我們會(huì)遇到許多似是而非的結(jié)論．要證明它我們一時(shí)無(wú)法完成，這時(shí)我們可考慮通過(guò)構(gòu)造一個(gè)特殊的圖形來(lái)推翻結(jié)論，這樣的圖形就是反例圖形．若我們的心中有這樣的反例圖形，那就可以幫助我們迅速作出判斷． 例3判斷下面的命題是否正確：底面是正三角形且相鄰兩側(cè)面所成的二面角都相等的三棱椎是正三棱錐． 分析：這是一個(gè)學(xué)生很容易判斷錯(cuò)誤的問(wèn)題．大家認(rèn)為該命題正確，其實(shí)是錯(cuò)誤的，但大家一時(shí)舉不出例子來(lái)加以說(shuō)明．問(wèn)題的關(guān)鍵是二面角相等很難處理．我們是否可以考慮用一個(gè)正三棱錐通過(guò)變形得到？ 如圖4，設(shè)正三棱錐的側(cè)面等腰三角形PAB的頂角是，底角是，作的平分線，交PA于E，連接EC．可以證明是等腰三角形，所以AB＝BE．同理EC＝AB．那么，△EBC是正三角形，從而就是滿足題設(shè)的三棱錐，但不是正三棱錐． 四、造圖 在立體幾何的學(xué)習(xí)中，我們可以根據(jù)題目的特征，精心構(gòu)造一個(gè)相應(yīng)的特殊幾何模型，將陌生復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉簡(jiǎn)單的問(wèn)題． 例4 設(shè)a、b、c是兩兩異面的三條直線，已知，且d是a、b的公垂線，如果，那么c與d的位置關(guān)系是（ ）． ?。ˋ）相交 （B）平行（C）異面（D）異面或平行 分析：判斷空間直線的位置關(guān)系，最佳是構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膸缀螆D形，它具有直觀和易于判斷的優(yōu)點(diǎn)．根據(jù)本題的特點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造正方體，如圖5，在正方體 中，令A(yù)B＝a，BC＝d，．當(dāng)c為直線時(shí)，c與d平行；當(dāng)c為直線時(shí)，c與d異面，故選D． 五、拼圖 空間基本圖形由點(diǎn)、線、面構(gòu)成，而一些特殊的圖形也可以通過(guò)基本圖形拼接得到．在拼圖的過(guò)程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一些變和不變的東西，從中感悟出這個(gè)圖形的特點(diǎn)，找出解決待求解問(wèn)題的方法． 例5給出任意的一塊三角形紙片，要求剪拼成一個(gè)直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，并加以簡(jiǎn)要的說(shuō)明． 分析：這是2022年立體幾何題中的一部分．這個(gè)設(shè)計(jì)新穎的題目，使許多平時(shí)做慣了證明、計(jì)算題的學(xué)生一籌莫展．這是一道動(dòng)作題，但它不僅是簡(jiǎn)單的剪剪拼拼的動(dòng)作，更重要的是一種心靈的“動(dòng)作”，思維的“動(dòng)作”．受題目敘述的影響，大家往往在想如何折起來(lái)？參考答案也是給了一種折的方法．那么這種方法究竟從何而來(lái)？其實(shí)逆向思維是這題的一個(gè)很好的切人點(diǎn)．我們思考：展開(kāi)一個(gè)直三棱柱，如何還原成一個(gè)三角形？ 把一個(gè)直三棱柱展開(kāi)后可得到甲、乙兩部分，甲內(nèi)部的三角形和乙是全等的，甲的三角形外是寬相等的三個(gè)矩形．現(xiàn)在的問(wèn)題是能否把乙分為三部分，補(bǔ)在甲的三個(gè)角上正好成為一個(gè)三角形（如圖丙）？因?yàn)榧字腥切瓮馐菍捪嗟鹊木匦?，所以三角形的頂點(diǎn)應(yīng)該在原三角形的三條角平分線上，又由于面積要相等，所以甲中的三角形的頂點(diǎn)應(yīng)該在原三角形的內(nèi)心和頂點(diǎn)的連線段的39。中點(diǎn)上（如圖?。催@樣的設(shè)計(jì)，剪開(kāi)后可以折成一個(gè)直三棱柱． 六、變圖 幾何圖形千變?nèi)f化，在不斷的變化中展示幾何圖形的魅力，在不斷的變化中培養(yǎng)我們的能力，在有意無(wú)意的變化中開(kāi)闊我們的思路． 例6 已知在三棱錐中，PA＝a，AB＝AC＝2a，求三棱錐的體積． 分析：此題的解決方法很多，但切割是不錯(cuò)的選擇． 思路1 設(shè)D為AB的中點(diǎn)，依題意有：，所以有： 此解法實(shí)際上是把三棱錐一分為二，三棱錐BPAD的底面是直角三角形，高就是BD，從而大大簡(jiǎn)化了計(jì)算．這種分割的方法也是立體幾何解題中的一種重要策略．它化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化未知為已知． 思路2 從點(diǎn)A出發(fā)的三條棱兩兩夾角為，故可補(bǔ)形為正四面體． 如圖，延長(zhǎng)AP至S，使PA＝PS，連SB、SC，于是四
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