圓錐曲線解答題專題四：證明問題、存在性問題(解析版)(編輯修改稿)
2025-04-03 03:29 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 坐標(biāo)軸的直線l與C有兩個交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l過右焦點(diǎn)，問y軸上是否存在點(diǎn)D，使得三角形ABD為正三角形，若存在，求出點(diǎn)D，若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）不存在這樣的點(diǎn)D，理由見解析.【詳解】解（1）由題意可知：，所以 設(shè)點(diǎn)，A，B在橢圓上．．．．．．．．．．．．．．①．．．．．．．．．．．．．．．②因?yàn)椋塾散佗诘?，即，所以由③?橢圓C方程為： （2）設(shè)直線聯(lián)立得 ，假設(shè)存在點(diǎn)D，則MD的直線方程為：所以． 若為等邊三角形則：即，方程無實(shí)數(shù)解，不存在這樣的點(diǎn)D解題思路：（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可表示出點(diǎn)，假設(shè)存在點(diǎn)D，求出MD的直線方程，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)，利用弦長公式求出、由為等邊三角形，則，即可得到方程，即可判斷；例11.（2021安徽淮北市高三一模（理））已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)F，.過F且斜率存在的直線交橢圓于P，N兩點(diǎn)，P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為M.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線，的斜率分別為，是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】（1），（2）【詳解】解：（1）因?yàn)殡x心率為，所以，又，所以，解得，又，所以，所以橢圓方程為（2）由（1）知，設(shè)直線的方程為，因?yàn)榕c關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以所以，若存在，使得恒成立，所以所以兩邊同乘得又因?yàn)樵跈E圓上，所以所以所以當(dāng)時，則所以①；當(dāng)時，與重合，聯(lián)立方程，消元得，所以所以，代入①得，整理得，解得解題思路：（2）由（1）知，設(shè)直線的方程為，，表示出，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，即可求出參數(shù)的值；例12.（2021四川高三月考（理））設(shè)分別為橢圓的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，（1）求橢圓的離心率；（2）經(jīng)過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，使得恒成立？；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【詳解】解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為,由已知得即，又，所以.即，由均大于零，于是.解得，即橢圓的離心率為.(2)由(1)知,所以橢圓的方程可化為.設(shè)直線的方程為,代入并整理得....則的垂直平分線方程為.令,得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為..解題思路：（2）由（1）可得橢圓方程為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，利用弦長公式求出弦的長，再表示出直線的垂直平分線方程，令可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即可求出，從而得解；【鞏固訓(xùn)練】1.（2021湖北高三月考）已知橢圓的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為短軸的上端點(diǎn)為，且（1）求橢圓的方程；（2）若過點(diǎn)且不與軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合，可得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出，進(jìn)而求出直線與的斜率之積為定值以及的值．【詳解】（1），設(shè)，則，由，得結(jié)合，得；由得代人，解得，所以故橢圓的方程為（2）由已知直線過點(diǎn)，設(shè)的方程為，則聯(lián)立方程組消去得，所以設(shè)則又直線與斜率分別為則要使為定值，則有即，當(dāng)時，；當(dāng)時，所以存在點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為定值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查定值問題，解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是聯(lián)立直線與橢圓方程，并利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出直線與的斜率之積，利用比例關(guān)系得出的值以及為定值，考查學(xué)生計算能力，屬于中檔題．2.（2021江西上饒市高三模擬（理））在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是動點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之和等于直線的斜率.（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過作斜率為的直線與軌跡相交于點(diǎn)，點(diǎn)，直
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