20xx屆二輪復(fù)習(xí)--方法技巧橢圓橢圓及其幾何性質(zhì)-學(xué)案(編輯修改稿)
2025-04-03 02:19 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 橢圓方程化為＋＝1，設(shè)F1是橢圓的右焦點(diǎn)，則F1(2,0)，∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當(dāng)P，A，F(xiàn)1共線時(shí)等號(hào)成立)，∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.考點(diǎn)二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程命題方向1 定義法【例2】 (2020濟(jì)南高三期末)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1,0)，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為( )A.＋y2＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1【解析】 方法1：由題意設(shè)橢圓的方程為＋＝1(ab0)，連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)．令∠OAF2＝θ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則sinθ＝.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝＝，所以＝1－2()2，得a2＝＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為＋＝.方法2：設(shè)|F2B|＝x(x0)，則|AF2|＝2x，|AB|＝3x，|BF1|＝3x，|AF1|＝4a－(|AB|＋|BF1|)＝4a－6x，由橢圓的定義知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x，所以|AF1|＝2x.在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|F2B||F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4xcos∠BF2F1①，在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2－2|AF2||F1F2|cos∠AF2F1，即4x2＝4x2＋22＋8xcos∠BF2F1②，由①②得x＝，所以2a＝4x＝2，a＝，所以b2＝a2－c2＝2.所以橢圓的方程為＋＝.【答案】 B命題方向2 待定系數(shù)法【例3】 (1)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，(，)，則橢圓方程為_(kāi)_______．(2)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為_(kāi)_______．【解析】 (1)設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n0，m≠n)．由解得m＝，n＝.∴橢圓方程為＋＝1.(2)∵橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，∴可設(shè)橢圓方程為＋＝1(ab0)，∵P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，∴又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝，c＝，∴橢圓方程為＋＝
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