【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 =﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+，∴當(dāng)t=3時(shí)，△PAB的面積有最大值；（3）如圖2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90176。，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45176。，∵PE∥x軸、PD⊥x軸，∴∠DPE=90176。，若△PDE為等腰直角三角形，則∠EDP=45176。，∴∠EDP與∠BDH互為對(duì)頂角，即點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，則當(dāng)y=6時(shí)，﹣x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即點(diǎn)P（4，6）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握和靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵.7．（10分）（2015?佛山）如圖，一小球從斜坡O點(diǎn)處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=﹣x2+4x刻畫(huà)，斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫(huà)．（1）請(qǐng)用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）小球的落點(diǎn)是A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）連接拋物線的最高點(diǎn)P與點(diǎn)O、A得△POA，求△POA的面積；（4）在OA上方的拋物線上存在一點(diǎn)M（M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積．請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】試題分析：（1）利用配方法拋物線的一般式化為頂點(diǎn)式，即可求出二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）聯(lián)立兩解析式，可求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，AB⊥x軸于點(diǎn)B．根據(jù)S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入數(shù)值計(jì)算即可求解；（4）過(guò)P作OA的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，連結(jié)OM、AM，由于兩平行線之間的距離相等，根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，可得△MOA的面積等于△POA的面積．設(shè)直線PM的解析式為y=x+b，將P（2，4）代入，求出直線PM的解析式為y=x+3．再與拋物線的解析式聯(lián)立，得到方程組，解方程組即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．試題解析：（1）由題意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）；（2）聯(lián)立兩解析式可得：，解得：，或．故可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）；（3）如圖，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，AB⊥x軸于點(diǎn)B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=24+（+4）（﹣2）﹣=4+﹣=；（4）過(guò)P作OA的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，連結(jié)OM、AM，則△MOA的面積等于△POA的面積．設(shè)直線PM的解析式為y=x+b，∵P的坐標(biāo)為（2，4），∴4=2+b，解得b=3，∴直線PM的解析式為y=x+3．由，解得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題8．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，P為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，若△PAC面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，D為拋物線的頂點(diǎn)，在線段AD上是否存在點(diǎn)M，使得以M，A，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（，）或（，），見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，然后將A、B、C的坐標(biāo)代入解析式即可求得二次函數(shù)的解析式；（2））過(guò)P點(diǎn)作PQ垂直x軸，交AC于Q，把△APC分成兩個(gè)△APQ與△CPQ，把PQ作為兩個(gè)三角形的底，通過(guò)點(diǎn)A，C的橫坐標(biāo)表示出兩個(gè)三角形的高即可求得三角形的面積．（3）通過(guò)三角形函數(shù)計(jì)算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，∠AOM=∠CAB=45176。，即OM為y=x，若∠AOM=∠CBA，則OM為y=3x+3，然后由直線解析式可求OM與AD的交點(diǎn)M．【詳解】（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入拋物線解析式y(tǒng)＝ax2+bx+c得，解得，所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如解（2）圖1，過(guò)P點(diǎn)作PQ平行y軸，交AC于Q點(diǎn)，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直線AC解析式為y＝x+3，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3．），則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+3），∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．∴S△PAC＝，∴，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），當(dāng)x＝﹣2時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3），綜上所述：若△PAC面積為3，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）圖1，過(guò)D點(diǎn)作DF垂直x軸于F點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AE垂直BC于E點(diǎn)，∵D為拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的頂點(diǎn)，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），又∵A（﹣3，0），∴直線AC為y＝2x+4，AF＝2，DF＝4，tan∠PAB＝2，∵B（1，0），C（0，3）∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直線BC解析式為y＝﹣3x+3．∵AC＝4，∴AE＝AC?sin∠ABC＝＝，BE＝，∴CE＝，∴tan∠ACB＝，∴tan∠ACB＝tan∠PAB＝2，∴∠ACB＝∠PAB，∴使得以M，A，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，如解（3）圖2Ⅰ．當(dāng)∠AOM＝∠CAB＝45176。時(shí)，△ABC∽△OMA，即OM為y＝﹣x，設(shè)OM與AD的交點(diǎn)M（x，y）依題意得：，解得，即M點(diǎn)為（，）．Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC，∵直線BC解析式為y＝﹣3x+3．∴直線OM為y＝﹣3x，設(shè)直線OM與AD的交點(diǎn)M（x，y）．則依題意得：，解得，即M點(diǎn)為（，），綜上所述：存在使得以M，A，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（，）或（，）．【點(diǎn)睛】本題結(jié)合三角形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)和幾何圖形的綜合題目，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．9．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且|m|＜|n|，拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，0），B（0，n），如圖所示．（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)為D，求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，并判斷△BCD的形狀；（3）點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)Q在直線BC上，距離點(diǎn)P為個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）；（2）C（3，0），D（1，﹣4），△BCD是直角三角形；（3）【解析】試題分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先解方程求出拋物線與x軸的交點(diǎn)，再判斷出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，從而得到結(jié)論；（3）先求出QF=1，再分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M上方和下方，分別計(jì)算即可．試題解析：解（1）∵，∴，∵m，n是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，0），B（0，n），∴，∴，∴拋物線解析式為；（2）令y=0，則，∴，∴C（3，0），∵=，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)D（1，﹣4），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸，∵OB=OC=3，∴