溫州中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)二次函數(shù)專項(xiàng)綜合練(編輯修改稿)
2025-04-02 05:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x2+2x+3；(2) 如圖1，∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t 且PQ垂直于x軸 ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(t，－t+3)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(t，－t2+2t+3).∴PQ=|(－t+3)－(－t2+2t+3)|=| t2－3t |∴；∵d，e是y2－(m+3)y+(5m2－2m+13)=0（m為常數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴△≥0，即△=(m+3)2－4(5m2－2m+13)≥0整理得：△= －4(m－1)2≥0，∵－4(m－1)2≤0，∴△=0，m=1，∴ PQ與PH是y2－4y+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解得y1=y2=2∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t=1, ∴此時(shí)Q是拋物線的頂點(diǎn)，延長MP至L，使LP=MP，連接LQ、LH，如圖2，∵LP=MP，PQ=PH，∴四邊形LQMH是平行四邊形，∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴LH=MH，∴平行四邊形LQMH是菱形，∴PM⊥QH，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與P點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，都是2，∴在y=－x2+2x+3令y=2，得x2－2x－1=0，∴x1=1+，x2=1－綜上：t值為1，M點(diǎn)坐標(biāo)為(1+，2)和(1－，2).6．已知拋物線.（1）若該拋物線與x軸有公共點(diǎn)，求c的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)該拋物線與直線交于M，N兩點(diǎn)，若，求C的值；（Ⅲ）點(diǎn)P，點(diǎn)Q是拋物線上位于第一象限的不同兩點(diǎn)，都垂直于x軸，垂足分別為A，B，若，求c的取值范圍.【答案】（I）；（Ⅱ）；（Ⅲ）c的取值范圍是【解析】【分析】(1) 拋物線與x軸有公共點(diǎn)，則判別式為非負(fù)數(shù)，列不等式求解即可。(2)求出二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)，并根據(jù)勾股定理求出MN的長度，列方程即可求解。(3)由可知，P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)得到設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，代入二次函數(shù)，得到n,m的關(guān)系，則只需保證該方程有正根即可求解.【詳解】解：（I）∵拋物線與x軸有交點(diǎn)，∴一元二次方程有實(shí)根。，（Ⅱ）根據(jù)題意，設(shè)由，消去y，得 ①.由，得.∴方程①的解為，解得（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，且，兩式相減，得，即，即，其中由，即，得.當(dāng)時(shí)，不合題意。又，得.∴c的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次的解析式，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用及待定系數(shù)法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．7．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)x1，x2是方程兩根，且，求k的值．【答案】（1）k≥﹣；（2）k＝．【解析】【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可以得到△≥0，從而求得k的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系將兩根之和和兩根之積代入代數(shù)式求k的值即可.【詳解】解：（1）△＝（2k+1）2﹣4k2＝4k2+4k+1﹣4k2＝4k+1∵△≥0∴4k+1≥0∴k≥﹣；（2）∵x1，x2是方程兩根，∴x1+x2＝2k+1 x1x2＝k2，又∵，∴，即 ，解得：，又∵k≥﹣ ，即：k＝．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，根的判別式等知識(shí)，牢記“兩根之和等于 ，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵.8．如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，且拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，.（1）若直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，求直線和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使為直角三角形的點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）拋物線的解析式為，直線的解析式為.（2）；（3）的坐標(biāo)為或或或.【解析】分析：（1）先把點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程可得a和b的關(guān)系，再聯(lián)立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=mx+n，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；（2）設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)為M，此時(shí)MA+MC的值最?。褁=1代入直線y=x+3得y的值，即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)；（3）設(shè)P（1，t），又因?yàn)锽（3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（1+3）2+t2=4+t2，PC2=（1）2+（t3）2=t26t+10，再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．詳解：（1）依題意得：，解得：，∴拋物線的解析式為.∵對(duì)稱軸為，且拋物線經(jīng)過，∴把、分別代入直線，得，解之得：，∴直線的解析式為.（2）直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為，則此時(shí)的值最小，把代入直線得，∴.即當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小時(shí)的坐標(biāo)為.（注：本題只求坐標(biāo)沒說要求證明為何此時(shí)的值最小，所以答案未證明的值最小的原因）.（3）設(shè)，又，∴，，①若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則，即：解得：，②若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則，即：解得：，③若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則，即：解得：，.綜上所述的坐標(biāo)為或或或.點(diǎn)睛：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）的解析式、利用軸對(duì)稱性質(zhì)確定線段的最小長度、難度不是很大，是一道不錯(cuò)的中考?jí)狠S題．9．拋物線L：y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），與它的對(duì)稱軸直線x=1交于點(diǎn)B．（1）直接寫出拋物線L的解析式；（2）如圖1，過定點(diǎn)的直線y=kx﹣k+4（k＜0）與拋物線L交于點(diǎn)M、N．若△BMN的面積等于1，求k的值；（3）如圖2，將拋物線L向上平移m（m＞0）個(gè)單位長度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作y軸的垂線交拋物線L1于另一點(diǎn)D．F為拋物線L1的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，P為線段OC上一點(diǎn)．若△PCD與△POF相似，并且符合條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，求m的值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）3；（3）當(dāng)m=2﹣1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）和（0，）；當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）和（0，2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸為直線x=1且拋物線過點(diǎn)A（0，1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解可即得；（2）根據(jù)直線y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直線所過定點(diǎn)G坐標(biāo)為（1，4），從而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=BG?xN﹣BG?xM=1得出xN﹣xM=1，聯(lián)立直線和拋物線解析式求得x=，根據(jù)xN﹣xM=1列出關(guān)于k的方程，解之可得；（3）設(shè)拋物線L1的解析式為y=
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