20xx-20xx中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)的綜合熱點(diǎn)考點(diǎn)難點(diǎn)(編輯修改稿)
2025-03-30 22:20 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 值．【答案】（1）k≥﹣；（2）k＝．【解析】【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可以得到△≥0，從而求得k的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系將兩根之和和兩根之積代入代數(shù)式求k的值即可.【詳解】解：（1）△＝（2k+1）2﹣4k2＝4k2+4k+1﹣4k2＝4k+1∵△≥0∴4k+1≥0∴k≥﹣；（2）∵x1，x2是方程兩根，∴x1+x2＝2k+1 x1x2＝k2，又∵，∴，即 ，解得：，又∵k≥﹣ ，即：k＝．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，根的判別式等知識(shí)，牢記“兩根之和等于 ，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵.8．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，①連接BC、CD、BD，設(shè)BD交直線AC于點(diǎn)E，△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2．求：的最大值；②如圖2，是否存在點(diǎn)D，使得∠DCA＝2∠BAC？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）①當(dāng)時(shí)，的最大值是；②點(diǎn)D的坐標(biāo)是【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到A（4，0），C（0，2）代入y=x2+bx+c，于是得到結(jié)論；（2）①如圖，令y=0，解方程得到x1=4，x2=1，求得B（1，0），過(guò)D作DM⊥x軸于M，過(guò)B作BN⊥x軸交于AC于N，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點(diǎn)P，求得P（，0），得到PA=PC=PB=，過(guò)D作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延線于G，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得A（4，0），C（0，2），∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A．C兩點(diǎn)，∴，∴，拋物線解析式為： 。（2）①令，∴解得： , ∴B（1，0）過(guò)點(diǎn)D作軸交AC于M，過(guò)點(diǎn)B作軸交AC于點(diǎn)N，∴∥ ∴ ∴設(shè)： ∴ ∵ ∴ ∴∴當(dāng)時(shí)，的最大值是 。 ②∵A（4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=2，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點(diǎn)P，∴P（，0），∴PA=PC=PB=，∴∠CPO=2∠BAC，∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，過(guò)D作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延長(zhǎng)線于G，如圖，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即RC：DR=，令D（a，a2a+2），∴DR=a，RC=a2a，∴（a2a）：（a）=1：2，∴a1=0（舍去），a2=2，∴xD=2，∴a2a+2=3,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵，難度較大．9．若三個(gè)非零實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足：只要其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和，則稱(chēng)這三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z構(gòu)成“和諧三組數(shù)”．(1)實(shí)數(shù)1，2，3可以構(gòu)成“和諧三組數(shù)”嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三點(diǎn)均在函數(shù)y＝(k為常數(shù)，k≠0)的圖象上，且這三點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1，y2，y3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”，求實(shí)數(shù)t的值；(3)若直線y＝2bx+2c(bc≠0)與x軸交于點(diǎn)A(x1，0)，與拋物線y＝ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)兩點(diǎn)．①求證：A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2，x3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；②若a＞2b＞3c，x2＝1，求點(diǎn)P(，)與原點(diǎn)O的距離OP的取值范圍．【答案】(1)不能，理由見(jiàn)解析；(2)t的值為﹣﹣2或2；(3)①證明見(jiàn)解析；②≤OP＜且OP≠1．【解析】【分析】（1）由和諧三組數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可；（2）把M、N、R三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)解析式，可用t和k分別表示出yyy3，再由和諧三組數(shù)的定義可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；（3）①由直線解析式可求得x1＝﹣，聯(lián)立直線和拋物線解析式消去y，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求得x2+x3＝﹣，x2x3＝，再利用和諧三數(shù)組的定義證明即可；②由條件可得到a+b+c＝0，可得c＝﹣(a+b)，由a＞2b＞3c可求得的取值范圍，令m＝，利用兩點(diǎn)間距離公式可得到OP2關(guān)于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得OP2的取值范圍，從而可求得OP的取值范圍．【詳解】（1）不能，理由如下：∵3的倒數(shù)分別為∴+≠1，1+≠，1+≠，∴實(shí)數(shù)1，2，3不可以構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；（2）∵M(jìn)(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三點(diǎn)均在函數(shù)(k為常數(shù)，k≠0)的圖象上，∴yyy3均不為0，且y1＝，y2＝，y3＝，∴＝，＝，＝，∵y1，y2，y3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”，∴有以下三種情況：當(dāng)＝+時(shí)，則＝+，即t＝t+1+t+3，解得t＝﹣4；當(dāng)＝+時(shí)，則＝+，即t+1＝t+t+3，解得t＝﹣2；當(dāng)＝+時(shí)，則＝+，即t+3＝t+t+1，解得t＝2；∴t的值為﹣﹣2或2；（3）①∵a、b、c均不為0，∴x1，x2，x3都不為0，∵直線y＝2bx+2c(bc≠0)與x軸交于點(diǎn)A(x1，0)，∴0＝2bx1+2c，解得x1＝﹣，聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y可得2bx+2c＝ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c＝0，∵直線與拋物線交與B(x2，y2)，C(x3，y3)兩點(diǎn)，∴xx3是方程ax2+bx+c＝0的兩根，∴x2+x3＝﹣，x2x3＝，∴+＝＝＝﹣＝，∴x1，x2，x3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；②∵x2＝1，∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b，∵a＞2b＞3c，∴a＞2b＞3(﹣a﹣b)，且a＞0，整理可得，解得﹣＜＜，∵P(，)，∴OP2＝()2+()2＝()2+()2＝2()2+2+1＝2(+)2+，令m＝，則﹣＜m＜且m≠0，且OP2＝2(m+)2+，∵2＞0，∴當(dāng)﹣＜m＜﹣時(shí)，OP2隨m的增大而減小，當(dāng)m＝﹣時(shí)，OP2有最大臨界值，當(dāng)m＝﹣時(shí)，OP2有最小臨界值，當(dāng)﹣＜m＜時(shí)，OP2隨m的增大而增大，當(dāng)m＝﹣時(shí)，OP2有最小臨界值，當(dāng)m＝時(shí)，OP2有最大臨界值，∴≤OP2且OP2≠1，∵P到原點(diǎn)的距離為非負(fù)數(shù)，∴≤OP＜且OP≠1．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及新定義、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)、分類(lèi)討論思想及轉(zhuǎn)化思想等知識(shí)．在(1)中注意利用和諧三數(shù)組的定義，在(2)中由和諧三數(shù)組得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵，在(3)①中用a、b、c分別表示出x1，x2，x3是解題的關(guān)鍵，在(3)②中把OP2表示成二次函數(shù)的形式是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，特別是最后一問(wèn)，難度很大．
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