20xx年高中數(shù)學奧賽的技巧中篇(編輯修改稿)
2025-03-15 03:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 為解決問題的銳利武器。2711 數(shù)字化數(shù)字化的好處是：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的同時，還將抽象的推理轉(zhuǎn)化為具體的計算。這在例233中已見過。例2152 今有男女各2n人，圍成內(nèi)外兩圈跳舞，每圈各2n人，有男有女，外圈的人面向內(nèi)，內(nèi)圈的人面向外，跳舞規(guī)則如下：每當音樂一起，如面對面者為一男一女，則男的邀請女的跳舞，如果均為男的或均為女的，則鼓掌助興，曲終時，外圈的人均向左橫移一步，如此繼續(xù)下去，直至外圈的人移動一周。證明：在整個跳舞過程中至少有一次跳舞的人不少于n對。解 將男人記為+1，女人記為1，外圈的2n個數(shù)與內(nèi)圈的2n個數(shù)中有個1，個1，因此，和從而 ①另一方面，當與面對面時， 中的1的個數(shù)表示這時跳舞的對數(shù)，如果在整個過程中，每次跳舞的人數(shù)均少于n隊，那么恒有從而總和 ②由①與②矛盾知，至少有一次跳舞的人數(shù)不少于n對。這里還用到整體處理的技巧。例 2153 有男孩、女孩共n個圍坐在一個圓周上（），若順序相鄰的3人中恰有一個男孩的有組，順序相鄰的3人中恰有一個女孩的有組，求證。證明 現(xiàn)將小孩記作，且數(shù)字化 則其中又設取值為3的有個，取值為的有個，依題意，取值為1的有個，取值為的有個，得 可見，也可以數(shù)字化為 有考慮積 知2712 有序化當題目出現(xiàn)多參數(shù)、多元素（數(shù)、字母、點、角、線段等）時，若按一定的規(guī)則（如數(shù)的大小，點的次序等），將其重新排列，則排序本身就給題目增加了一個已知條件（有效增設），從而大大降低問題的難度。特別是處理不等關系時，這是一種行之有效的技巧。例2154 設有的正方形方格棋盤。在其中任意的3n個方格中各放一枚棋子，求證可以選出行和列，使得3枚棋子都在這n行和n列中。證明 設3n枚棋子放進棋盤后，2n行上的棋子數(shù)從小到大分別為，有 ① ②由此可證 ③（1）若，③式顯然成立。（2）若時，從而得③式也成立。據(jù)③式，可取棋子數(shù)分別為所對應的行，共n行。由于剩下的棋子數(shù)不超過n，因而至多取n列必可取完全部3n個棋子。例2155 設都是自然數(shù)，且滿足 ①求中的最大值。（）解 由條件的對稱性，不妨設 ②這就改變了條件的對稱性，相當于增加了一個條件 否則，由②知 從而，代入①得 矛盾，這時，由①有 當且時，有最大值，這也就是的最大值。2713 不變量在一個變化的數(shù)學過程中常常有個別的不變元素或特殊的不變狀態(tài)，表現(xiàn)出相對穩(wěn)定的較好性質(zhì)，選擇這些不變性作為解
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