20xx年高中數(shù)學(xué)奧賽的技巧中篇(編輯修改稿)
2025-03-15 03:43 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 為解決問(wèn)題的銳利武器。2711 數(shù)字化數(shù)字化的好處是：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的同時(shí)，還將抽象的推理轉(zhuǎn)化為具體的計(jì)算。這在例233中已見(jiàn)過(guò)。例2152 今有男女各2n人，圍成內(nèi)外兩圈跳舞，每圈各2n人，有男有女，外圈的人面向內(nèi)，內(nèi)圈的人面向外，跳舞規(guī)則如下：每當(dāng)音樂(lè)一起，如面對(duì)面者為一男一女，則男的邀請(qǐng)女的跳舞，如果均為男的或均為女的，則鼓掌助興，曲終時(shí)，外圈的人均向左橫移一步，如此繼續(xù)下去，直至外圈的人移動(dòng)一周。證明：在整個(gè)跳舞過(guò)程中至少有一次跳舞的人不少于n對(duì)。解 將男人記為+1，女人記為1，外圈的2n個(gè)數(shù)與內(nèi)圈的2n個(gè)數(shù)中有個(gè)1，個(gè)1，因此，和從而 ①另一方面，當(dāng)與面對(duì)面時(shí)， 中的1的個(gè)數(shù)表示這時(shí)跳舞的對(duì)數(shù)，如果在整個(gè)過(guò)程中，每次跳舞的人數(shù)均少于n隊(duì)，那么恒有從而總和 ②由①與②矛盾知，至少有一次跳舞的人數(shù)不少于n對(duì)。這里還用到整體處理的技巧。例 2153 有男孩、女孩共n個(gè)圍坐在一個(gè)圓周上（），若順序相鄰的3人中恰有一個(gè)男孩的有組，順序相鄰的3人中恰有一個(gè)女孩的有組，求證。證明 現(xiàn)將小孩記作，且數(shù)字化 則其中又設(shè)取值為3的有個(gè)，取值為的有個(gè)，依題意，取值為1的有個(gè)，取值為的有個(gè)，得 可見(jiàn)，也可以數(shù)字化為 有考慮積 知2712 有序化當(dāng)題目出現(xiàn)多參數(shù)、多元素（數(shù)、字母、點(diǎn)、角、線段等）時(shí)，若按一定的規(guī)則（如數(shù)的大小，點(diǎn)的次序等），將其重新排列，則排序本身就給題目增加了一個(gè)已知條件（有效增設(shè)），從而大大降低問(wèn)題的難度。特別是處理不等關(guān)系時(shí)，這是一種行之有效的技巧。例2154 設(shè)有的正方形方格棋盤(pán)。在其中任意的3n個(gè)方格中各放一枚棋子，求證可以選出行和列，使得3枚棋子都在這n行和n列中。證明 設(shè)3n枚棋子放進(jìn)棋盤(pán)后，2n行上的棋子數(shù)從小到大分別為，有 ① ②由此可證 ③（1）若，③式顯然成立。（2）若時(shí)，從而得③式也成立。據(jù)③式，可取棋子數(shù)分別為所對(duì)應(yīng)的行，共n行。由于剩下的棋子數(shù)不超過(guò)n，因而至多取n列必可取完全部3n個(gè)棋子。例2155 設(shè)都是自然數(shù)，且滿足 ①求中的最大值。（）解 由條件的對(duì)稱性，不妨設(shè) ②這就改變了條件的對(duì)稱性，相當(dāng)于增加了一個(gè)條件 否則，由②知 從而，代入①得 矛盾，這時(shí)，由①有 當(dāng)且時(shí)，有最大值，這也就是的最大值。2713 不變量在一個(gè)變化的數(shù)學(xué)過(guò)程中常常有個(gè)別的不變?cè)鼗蛱厥獾牟蛔儬顟B(tài)，表現(xiàn)出相對(duì)穩(wěn)定的較好性質(zhì)，選擇這些不變性作為解
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