20xx年高中物理微積分競賽輔導(dǎo)講義(編輯修改稿)
2025-03-09 22:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 三：微分和積分㈠ 簡單問題Q0→Q1q【例】電容器是一種存儲電荷的元件，它的基本工作方式為充電和放電，我們先考察電容器放電時的情況。某電容為C的電容器，其已充電的電量為Q0，若讓該電容與另一個阻值為R的的電阻串聯(lián)起來，該電容器將會放電，其釋放的電能轉(zhuǎn)化電阻的焦耳熱（內(nèi)能）。試討論，放電時流過電阻R的電流隨時間t 的變化關(guān)系如何？分析：①根據(jù)電荷守恒定律，當(dāng)通過電阻R的電量為q時，電容器的電量從Q0變成Q1，滿足Q0=Q1+q ，即q=Q0Q1 ；②流過電阻R的電流i與通過電阻R的電量q 滿足關(guān)系式：i=③根據(jù)電容電量公式Q=CU,有Q1=CU=CRi ，那么q= Q0 CRi ；④聯(lián)立上式，有i=== CR⑤進(jìn)行公式變形，令x= ,則有i= CR= 同學(xué)們思考一下，i應(yīng)該是什么函數(shù)，才能滿足i= ？，或者說什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)本身？我們觀察到，只有y=Cex形式的函數(shù)才滿足i= 關(guān)系，C為待定常數(shù)。故可以知道，i = Cex = Cet/CR當(dāng)t=0 時，U0= ， i0= = ；而把t=0 代人，得i = Cet/CR=C；故C=所以，流過電阻R的電流隨時間t 的變化關(guān)系為：i = et/CR【練】對于上例電容器放電問題，試討論，放電時電容器的電量Q隨時間t 的變化關(guān)系如何？㈡微分從上面式子可以看出，理論上雖然我們說是要經(jīng)過無窮長的時間電容才放完電，電流為零，但實際上只需要電流減少足夠小時，電流計就檢測不到有電流了。對于i= CR或i= ，我們稱之為微分方程，最直觀的解決方法是觀察有哪些函數(shù)滿足該微分方程的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)然，我們要注意比如上題中的t=0 之類的初始條件。一般來說，微積分可以幫助同學(xué)們深刻理解物理概念和公式，但微元法可以幫助同學(xué)們更細(xì)致地明了物理過程。下面我們用微元法的方式來處理這個問題。在△t的時間內(nèi)，通過電阻R的電量為△q。雖然電流隨時間發(fā)生變化，但在很短的時間△t內(nèi)，可以認(rèn)為電流幾乎不變，當(dāng)成恒定電流處理，故有△q= i△t 。對電容有Q=CU=CiR，△Q=ＣＲ△i；由電量守恒，△Q= －△q ，故－i△t＝ＣＲ△i，然后把“△”形式改寫成微積分語言的“d”形式，就有－idt＝ＣＲdi （dt和di稱之為微分）,數(shù)學(xué)變形為i= CR，即以上解法中的微分方程。微分與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系呢？對某自變量為時間t的函數(shù)F(t)，它的極其微小的變化，我們記它為微分dF，它與時間微分dt滿足關(guān)系式：dF=dt，其中為F對t的導(dǎo)數(shù)。下面是常見的微分公式與微分運算法則：① ② ③ ④ ⑤ ⑥⑦ ⑧ ⑨㈢積分在上例問題中，在△t的時間內(nèi)，通過電阻R的電量為△q= i△t，△q稱
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