新人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-132立體幾何中的向量方法同步測試題(完整版)
【正文】 (2,1,0)DE? ， 1 (2,0,2)CB? ，設(shè) 1DE 和 1BC 公垂線段上的向量為 (1, , )n ??? ，則 1100n DEn CB? ???? ????，即 202 2 0???????， 21??????? ???， (1, 2, 1)n? ? ? ? ，又 11 (0,2,0)DC? ， 11 4 2 636D C nn?? ? ?，所以 A E A1 D C B B1 C1 D1 F x y z 圖 異面直線 1DE和 1BC 間的距離為 263． 12． 36 分析：以 D 為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 則 11(1 , 0 , 0 ) , ( 0 , , 0 ) , (1 , , 1 )22A F E． 1(0, ,1)2AE?? ， 1( 1, ,0)2AF ?? ； 設(shè)面 1AECF 的法向量為 (1, , )n ??? ， 則有： 0, 0n AE n AF? ? ? ?， 1 02211102?? ???? ??? ???????????? ? ???， (1,2, 1)n? ? ? ，又 (0,1,0)AB? ，所以點 B 到截面 1AECF 的距離為 ABnAB n??= 26316??． 13． 1；解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系， DB ＝（ 1， 1， 0） ， DF ＝（ 0， 21 ， 1）， 1DA ＝（ 1， 0， 1） 設(shè)平面 DBEF 的法向量為 n ＝（ x， y， z），則有： n 0??DB 即 x＋ y＝ 0 n 0??DF 21 y＋ z＝ 0 令 x＝ 1, y=－ 1, z=21 , 取 n ＝（ 1，－ 1， 21 ），則 A1到平面DBEF 的距離 11 ???nDAnh 14． 510 解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系， AB ＝（ 0， 1， 0），1AD ＝（－ 1， 0， 1）， AE ＝（ 0， 21 ， 1） 設(shè)平面 ABC1D1的法向量為 n ＝（ x， y， z） , z x B A1 y F E B1 C1 D1 D C A E z x D1 y A C1 B1 A1 B D A C 由 0??ABn 可解得 n ＝（ 1， 0， 1） 01 ??ADn 設(shè)直線 AE 與平面 ABC1D1所 成的角為θ，則510s in ????nAEnAE? ， 三、 15． 解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 11CA ＝（－ 1， 1， 0）， BA1 ＝（ 0， 1，－ 1） 設(shè) 1n 、 2n 分別是平面 A1BC1與平面 ABCD 的法向量， 由 011 ?? BAn 可解得 1n ＝（ 1， 1， 1） 0111 ?? CAn 易知 2n ＝（ 0， 0， 1） 所以，212121 ,co snnnnnn??? ＝ 33 所以平面 A1BC1與平面 ABCD 所成的二面角大小為 arccos 33 或 ? － arccos 33 ． 注：用法向量的夾角求二面角時應(yīng)注意：平面的法向 量有兩個相反的方向，取的方向不同求 出來的角度當(dāng)然就不同，所以最后還應(yīng)該根據(jù)這個二面角的實際形態(tài)確定其大?。? 16． 證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則 11CA ＝（－ 1， 1， 0）， CB 1 ＝（－ 1， 0，－ 1） DA1 ＝（ 1， 0， 1）， AB1 ＝（ 0，－ 1，－ 1） 設(shè) 111 CAEA ?? ， DAFA 11 ?? ， ABMB 11 ?? （ ? 、 ? 、 ? R? ，且均不 為 0） 設(shè) 1n 、 2n 分別是平面 A1EF 與平面 B1MC 的法向量， 由 011 ?? EAn 可得 0111 ?? CAn ? 即 0111 ?? CAn 011 ?? FAn 011 ?? DAn ? 011 ?? DAn 解得： 1n ＝（ 1， 1，－ 1） z y x D1 A1 D B1 C1 C B A F y E M x z D1 C1 B1 A1 C D B A 由 012 ?? MBn 可得 012 ?? ABn ? 即 012 ?? ABn 012 ?? CBn 012 ?? CBn 012 ?? CBn 解得 2n ＝（－ 1， 1，－ 1），所以 1n ＝－ 2n ， 1n ∥ 2n ， 所以平面 A1EF∥平面 B1MC． 注：如果求證的是兩個平面垂直，也可以求出兩個平面 的法向量后，利用 1n ⊥2n 021 ??? nn 來證明． 17．（ 1）證明：∵ PA⊥平面 ABCD，∴ PA⊥ AB，又 AB⊥ AD．∴ AB⊥平面 PAD．又∵ AE⊥PD，∴ PD⊥平面 ABE，故 BE⊥ PD． （ 2）解：以 A為原點， AB、 AD、 AP 所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系 ，則點 C、D 的坐標(biāo)分別為（ a， a， 0），（ 0， 2a， 0）． ∵ PA⊥平面 ABCD，∠ PDA 是 PD 與底面 ABCD 所成的角，∴∠ PDA=30176。 A A1 D C B B1 C1
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