新人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-132立體幾何中的向量方法同步測(cè)試題-免費(fèi)閱讀
【正文】 a)2得 AF=2a ， EF= 23 a，∴ E（ 0， 23,21a a） 于是， CDaaAE },23,21,0{? ={－ a， a， 0} 設(shè) AE 與 CD 的夾角為 θ ，則由 cosθ =|||| CDAE CDAE?? 420)()2 3()21(002 321)(0222222?????????????aaaaaaaa AE 與 CD 所成角的余弦值為 42 ． 評(píng)述：第（ 2）小題中，以向量為工具，利用空間向量坐標(biāo)及數(shù)量積，求兩異面直線所成的角是立體幾何中的常見問題和處理手段． 18．解：（ 1）略． （ 2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 D— xyz, 則知 B（ 1， 1， 0）， ).1,21,0(),1,1,21( FE 設(shè) .),( 的法向量是平面 B D E Fzyxn ? )1,21,0(),0,1,1(, ???? DFDBDFnDBn由 得?????????????0210zyDFnyxDBn 則????? ??? .21yzyx 令 )21,1,1(,1 ???? ny 得． 設(shè)點(diǎn) A1在平面 BDFE 上的射影為 H，連結(jié) A1D，知 A1D 是平面 BDFE 的斜線段． .23)21)(1(10)1)(1(),1,0,1(1 ?????????????? nADDA? .1222,c o s||||.2223223||||,c o s,23)21(1)1(||,2)1()1(||111111112222221?????????????????????????????HADADAHAnDAnDAHADAnODA?又 即點(diǎn) A1到平面 BDFE 的距離為 1． （ 3）由（ 2）知， A1H=1，又 A1D= 2 ，則△ A1HD 為等腰直角三角形， ?4511 ???? HDADHA .45,11111????????DHAB D F EDADHAB D F EDAHDB D F EHA所成的角與平面就是直線上的射影在平面是平面 19．解：建立坐標(biāo)系如圖，則 ? ?2,0,0A 、 ? ?2,2,0B ， ? ?0,2,0C ， ? ?1 2,0,2A ， ? ?1 2,2,2B ， ? ?1 0,0,2D ， ? ?2,1,0E ， ? ?1 2,2, 2AC ? ? ? ， ? ?1 2,1, 2DE??， ? ?0,2,0AB? ， ? ?1 0,0,2BB ? ． （Ⅰ）不難證明 1AC 為平面 BC1D 的法向量， ∵ 1111113c o s , 9A C D EA C D E A C D E?? ∴ D1E 與 平面 BC1D 所成的角的大小為 3arccos29?? （即 3arcsin 9 ）． （Ⅱ） 1AC 、 AB 分別為平面 BC1D、 BC1C 的法向量， ∵ 1113c o s , 3A C A BA C A B A C A B??，∴ 二面角 D－ BC1－ C 的大小為 3arccos 3 ． （Ⅲ）∵ B1D1∥平面 BC1D，∴ B1D1與 BC1之間的距離為 111233A C BBd AC??． A1 B1 C1 D1 A B C D E x y z 20． (證明（ 1）用純粹的幾何方法要輾轉(zhuǎn)證明 EF∥ AC， EG∥ B1C， FG∥ AB1來證明，而我們借用向量法使問題代數(shù)化，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，思路簡(jiǎn)單明了． ) (1)分析：要證平面 EFG平面 ACB1，由題設(shè)知只要證 BD1垂直平面 ACB1即可． 證明：以 D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖 5，不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 a，則 A（ a，0， 0）， B（ a， a， 0）， C（ 0， a， 0）， D1（ 0， 0， a）， B1（ a， a， a）， E（ xE， 0， a）， F（ 0，yF， a）， G（ 0， 0， zG）． ∴ ?1BD =（－ a，－ a， a）， ? 1AB =（ 0， a， a）， ?EF （－ xE， yF， 0）， ?AC =（－ a， a， 0），?CB 1 =（－ a， 0，－ a）， ∵ ?1BD B． 90176。 AD∥ BC，AB=BC=a， AD=2a，且 PA⊥底面 ABCD， PD 與底面成 30176。 a， ∴EFGS?= DCAS 11? =21 ?? DACA 111 =43)44(222aaa ?= 33 ?EF =0， 即 (－ a，－ a， a) 2．如圖， ABCD— A1B1C1D1是正方體， B1E1＝ D1F1＝ 411BA ，則BE1與 DF1所成角的余弦值是（ ） A．1715 B． 21 C． 178 D． 23 3．如圖， A1B1C1— ABC 是直三棱柱，∠ BCA=90176。 D． 75176。 (0， a， a)=0， ∴ ?1BD ⊥ ?1AB ， 同理 ?1BD ⊥ ?AC ， 而 ?1AB 與?AC不共線且相交于點(diǎn) A， ∴ ?1BD ⊥平面 ACB1，又已知 ?1BD ⊥平面 EFG， ∴ 平面 EFG∥平面 ACB1； 又因?yàn)??1BD ⊥平面 EFG，所以 ?1BD ⊥ ?EF ， 則 ?1BD a2 ． 此時(shí) EF與 B1C的距離即為 A1C1與 B1C的距離，由于兩異面直線所在平面平行，所求距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn) B1到平面 A1C1D的距離，記 A1C1與 B1D1交于點(diǎn) O1，作 O1H∥ D1B并交 BB1于點(diǎn) H，則 O1H⊥平面 A1C1D，垂足為 O1，則 O
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