【正文】 ( ) 6 1 2 6 ( 2 ) ( 2 )f x x x x? ? ? ? ?，列表如下： x ( , 2)??? 2? ( 2, 2)? 2 ( 2, )?? 39。 0gx? ， ??gx單調(diào)遞減；當(dāng) 1 x? ??? 時(shí)， ? ?39。 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 高考題 第 1 題 .設(shè)函數(shù) 2( ) ln( 2 3 )f x x x? ? ? （ Ⅰ ）討論 ()fx的單調(diào)性； （ Ⅱ ）求 ()fx在區(qū)間 3144???????，的最大值和最小值． 答案： 解： ()fx的定義域?yàn)?32??? ??????，． （ Ⅰ ） 22 4 6 2 2 ( 2 1 ) ( 1 )( ) 22 3 2 3 2 3x x x xf x xx x x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?． 當(dāng) 3 12 x? ? ?? 時(shí)， ( ) 0fx? ? ；當(dāng) 11 2x? ? ?? 時(shí)， ( ) 0fx? ? ；當(dāng) 12x?? 時(shí)， ( ) 0fx? ? ． 從而， ()fx分別在區(qū)間 3 12????????， 12??? ??????，單調(diào)增加，在區(qū)間 112????????，單調(diào)減少． （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知 ()fx在區(qū)間 3144???????，的最小值為 11ln 224f ??? ? ?????． 又 3 1 3 9 7 1 3 1 1 4 9l n l n l n 1 l n4 4 2 1 6 2 1 6 7 2 2 9ff? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0?． 所以 ()fx在區(qū)間 3144???????，的最大值為 1 1 7ln4 16 2f ????????． 第 2 題 .曲線 12exy? 在點(diǎn) 2(4 e)， 處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（ ） Ａ． 29e2 Ｂ． 24e Ｃ． 22e Ｄ． 2e 答案： Ｄ 第 3 題 .設(shè)函數(shù) 2( ) ln( )f x x a x? ? ?． （ I）若當(dāng) 1x?? 時(shí)， ()fx取得極值，求 a 的值，并討論 ()fx的單調(diào)性； （ II）若 ()fx存在極值，求 a 的取值范圍，并證明所有極值之和大于 eln2 ． 答案： 解： （ Ⅰ ） 1( ) 2f x xxa? ??? ， 依題意有 ( 1) 0f??? ，故 32a?． 從而 22 3 1 ( 2 1 ) ( 1 )()3322x x x xfxxx? ? ? ?? ????． ()fx的定義域?yàn)?32??? ??????， ．當(dāng) 3 12 x? ? ?? 時(shí)， ( ) 0fx? ? ； 當(dāng) 112x? ? ??時(shí)， ( ) 0fx? ? ； 當(dāng) 12x?? 時(shí)， ( ) 0fx? ? ． 從而， ()fx分別在區(qū)間 31122? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ，單調(diào)增加，在區(qū)間 112????????，單調(diào)減少． （ Ⅱ ） ()fx的定義域?yàn)?()a? ??， ， 22 2 1() x a xfx xa??? ? ?． 方程 22 2 1 0x ax? ? ?的判別式 248a?? ? ． （ ⅰ ）若 0?? ，即 22a? ? ? ，在 ()fx的定義域內(nèi) ( ) 0fx? ? ，故 ()fx無(wú)極值． （ ⅱ ）若 0?? ，則 2a? 或 2a?? ． 若 2a? ， ( 2 )x? ? ??， ， 2( 2 1)()2xfx x ?? ? ?． 當(dāng) 22x?? 時(shí)， ( ) 0fx? ? ，當(dāng) 222x ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ，時(shí)， ( ) 0fx? ? ，所以 ()fx無(wú)極值． 若 2a?? ， ( 2 )x? ??， ， 2( 2 1)( ) 02xfx x ?? ???， ()fx也無(wú)極值． （ ⅲ ）若 0?? ，即 2a? 或 2a?? ，則 22 2 1 0x ax? ? ?有兩個(gè)不同的實(shí)根 21 22aax ? ? ??， 22 22aax ? ? ??． 當(dāng) 2a?? 時(shí)， 12x a x a? ? ? ?， ，從而 ()fx? 在 ()fx的定 義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)， 故 ()fx無(wú)極值． 當(dāng) 2a? 時(shí)， 1xa?? ， 2xa?? ， ()fx? 在 ()fx的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， 由極值判別方法知 ()fx在 12x x x x??， 取得極值． 綜上， ()fx存在極值時(shí)， a 的取值范圍為 ( 2 )??， ． ()fx的極值之和為 2 2 21 2 1 1 2 2 1e( ) ( ) l n ( ) l n ( ) l n 1 1 l n 2 l n22f x f x x a x x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 第 4 題 .函數(shù) 3( ) 12f x x x??在區(qū)間 [ 33]?， 上的最小值是 ． 答案： 16? 第 5 題 .已知函數(shù) 3211() 32f x x a x b x? ? ?在區(qū)間 [11)?， ， (13]， 內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)． （ I）求 2 4ab? 的最大值； （ II）當(dāng) 2 48ab??時(shí)，設(shè)函數(shù) ()y f x? 在點(diǎn) (1 (1))Af， 處的切線為 l ，若 l 在點(diǎn) A 處穿過(guò)函數(shù) ()y f x? 的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn) A 附近沿曲線 ()y f x? 運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 時(shí)，從 l 的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù) ()fx的表達(dá)式． 答案： 解：（ I）因?yàn)楹瘮?shù) 3211() 32f x x a x b x? ? ?在區(qū)間 [11)?， ， (13]， 內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以 2()f x x ax b? ? ? ?0? 在 [11)?， ， (13]， 內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根， 設(shè)兩實(shí)根為 12xx， （ 12xx? ），則 221 4x x a b? ? ?，且 2104xx??≤ ．于是 20 4 4ab??≤ ， 20 4 16ab?? ≤ ，且當(dāng) 1 1x??， 2 3x? ，即 2a?? ， 3b?? 時(shí)等號(hào)成立．故 2 4ab? 的最大值是 16． （ II）解法一：由 (1) 1f a b? ? ? ? 知 ()fx在點(diǎn) (1 (1))f， 處的切線 l 的方程是 (1) (1)( 1)y f f x?? ? ?，即 21(1 ) 32y a b x a? ? ? ? ?， 因?yàn)榍芯€ l 在點(diǎn) (1 (1))Af， 處穿過(guò) ()y f x? 的圖象， 所以 21( ) ( ) [ (1 ) ]32g x f x a b x a? ? ? ? ? ?在 1x? 兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則 1x? 不是 ()gx的極值點(diǎn)． 而 ()gx 321 1 2 1( 1 )3 2 3 2x a x b x a b x a? ? ? ? ? ? ? ?，且 22( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )g x x a x b a b x a x a x x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 若 11a?? ? ，則 1x? 和 1xa?? ? 都是 ()gx 的極值點(diǎn)． 所以 11a?? ? ，即 2a?? ．又由 2 48ab??，得 1b?? ．故 321()3f x x x x? ? ?． 解法二：同解法一得 21( ) ( ) [ (1 ) ]32g x f x a b x a? ? ? ? ? ? 21 3 3( 1 ) [ (1 ) ( 2 ) ]3 2 2ax x x a? ? ? ? ? ?． 因?yàn)榍芯€ l 在點(diǎn) (1 (1))Af， 處穿過(guò) ()y f x? 的圖象，所以 ()gx 在 1x? 兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)．于是存在 12mm， （ 121mm?? ）． 當(dāng) 1 1mx??時(shí)， ( ) 0gx? ，當(dāng) 21 xm?? 時(shí)， ( ) 0gx? ； 或當(dāng) 1 1mx??時(shí)， ( ) 0gx? ，當(dāng) 21 xm?? 時(shí)， ( ) 0gx? ． 設(shè) 2 33( ) 1 222aah x x x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，則 當(dāng) 1 1mx??時(shí)， ( ) 0hx? ，當(dāng) 21 xm?? 時(shí)， ( ) 0hx? ； 或當(dāng) 1 1mx??時(shí)， ( ) 0hx? ，當(dāng) 21 xm?? 時(shí)， ( ) 0hx? ． 由 (1) 0h ? 知 1x? 是 ()hx 的一個(gè)極值點(diǎn)，則 3(1) 2 1 1 02ah? ? ? ? ? ?． 所以 2a?? ．又由 2 48ab??，得 1b?? ，故 321() 3f x x x x? ? ? 第 6 題 .已知函數(shù) 3( ) 12 8f x x x? ? ?在區(qū)間 ? ?33?， 上的最大值與最小值分別為 M ， m ，則Mm??_____． 答案： 32 第 7 題 .設(shè) 2: ( ) e l n 2 1xp f x x x m x? ? ? ? ?在 (0 )??， 內(nèi)單調(diào)遞增， :5qm?≥ ，則 p 是 q的（ ） Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 Ｃ．充分必要條件 Ｄ．既不充分也不必要條件 答案： B 第 8 題 .設(shè)函數(shù) ( ) e exxfx ???． （ Ⅰ ）證明： ()fx的導(dǎo)數(shù) ( ) 2fx? ≥ ； （ Ⅱ ）若對(duì)所有 0x≥ 都有 ()f x ax≥ ，求 a 的取值范圍答案：解 ： （ Ⅰ ） ()fx的導(dǎo)數(shù) ( ) e exxfx ?? ??． 由于 e e 2 e e 2x x x x???≥ ，故 ( ) 2fx? ≥ ． （當(dāng)且僅當(dāng) 0x? 時(shí)，等號(hào)成立）． （ Ⅱ ）令 ( ) ( )g x f x ax??，則 ( ) ( ) e exxg x f x a a???? ? ? ? ?， （ ⅰ ）若 2a≤ ，當(dāng) 0x? 時(shí)， ( ) e e 2 0xxg x a a?? ? ? ? ? ? ≥， 故 ()gx在 (0 )?， ∞ 上為增函數(shù)， 所以， 0x≥ 時(shí)， ( ) (0)g x g≥ ，即 ()f x ax≥ ． （ ⅱ ）若 2a? ，方程 ( ) 0gx? ? 的正根為 21 4ln 2aax ???， 此時(shí)，若 1(0 )xx? ， ，則 ( ) 0gx? ? ，故 ()gx 在該區(qū)間為減函數(shù)． 所以， 1(0 )xx? ， 時(shí)， ( ) (0) 0g x g??，即 ()f x ax? ，與題設(shè) ()f x ax≥ 相矛盾． 綜上，滿足條件的 a 的取值范圍是 ? ?2?∞ ， ． 第 9 題 .曲線 313y x x??在點(diǎn) 413??????，處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（ ） Ａ． 19 Ｂ． 29 Ｃ． 13 Ｄ． 23 答案： A 第 10 題 . (2021 全國(guó) I文 )設(shè)函數(shù) 32( ) 2 3 3 8f x x ax bx c? ? ? ?在 1x? 及 2x? 時(shí)取得極值． （Ⅰ）求 a、 b 的值； （Ⅱ）若對(duì)于任意的 [03]x? ， ，都有 2()f x c? 成立，求 c 的取值范圍． 答案： （Ⅰ） 2( ) 6 6 3f x x ax b? ? ? ?， 因?yàn)楹瘮?shù) ()fx在 1x? 及 2x? 取得極值，則有 (1) 0f? ? ， (2) 0f? ? ． 即 6 6 3 024 12 3 0abab? ? ??? ? ? ?? ， ． B 1F O 2F P D A y x C 解得 3a?? ， 4b? ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 32( ) 2 9 12 8f x x x x c? ? ? ?， 2( ) 6 1 8 1 2 6 ( 1 ) ( 2 )f x x x x x? ? ? ? ? ? ?． 當(dāng) (01)x? ， 時(shí)， ( ) 0fx? ? ； 當(dāng) (12)x?， 時(shí)， ( ) 0fx? ? ； 當(dāng) (23)x? ， 時(shí)， ( ) 0fx? ? ． 所以，當(dāng) 1x? 時(shí)， ()fx取得極大值 (1) 5 8fc?? ，又 (0) 8fc? ， (3) 9 8fc?? ． 則當(dāng) ? ?03x? ， 時(shí)， ()fx的最大值為 (3) 9 8fc?? ． 因?yàn)閷?duì)于任意的 ? ?03x? ， ，有 2()f x c? 恒成立， 所以 298cc??， 解得 1c?? 或 9c? ， 因此 c 的取值范圍為 ( 1) (9 )?? ? ? ?， ， ． 第 11 題 .已知函數(shù) 3()f x x x??． （ 1）求曲線 ()y f x? 在點(diǎn) ( ( ))M t f t， 處的切線方程； （ 2）設(shè) 0a? ，如果過(guò)點(diǎn) ()ab， 可作曲線 ()y f x? 的三條切線，證明： ()a b f a? ? ? ． 答案： 解：（ 1）求函數(shù) ()fx的導(dǎo)數(shù)： 2( ) 3 1xxf ? ??． 曲線 ()y f x? 在點(diǎn) ( ( ))M t f t， 處的切線方程為： ( ) ( )( )y f t f t x t?? ? ?