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新人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-213導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用同步測(cè)試題2套-免費(fèi)閱讀

  

【正文】 ( ) 6 1 2 6 ( 2 ) ( 2 )f x x x x? ? ? ? ?,列表如下: x ( , 2)??? 2? ( 2, 2)? 2 ( 2, )?? 39。 0gx? , ??gx單調(diào)遞減;當(dāng) 1 x? ??? 時(shí), ? ?39。 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 高考題 第 1 題 .設(shè)函數(shù) 2( ) ln( 2 3 )f x x x? ? ? ( Ⅰ )討論 ()fx的單調(diào)性; ( Ⅱ )求 ()fx在區(qū)間 3144???????,的最大值和最小值. 答案: 解: ()fx的定義域?yàn)?32??? ??????,. ( Ⅰ ) 22 4 6 2 2 ( 2 1 ) ( 1 )( ) 22 3 2 3 2 3x x x xf x xx x x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?. 當(dāng) 3 12 x? ? ?? 時(shí), ( ) 0fx? ? ;當(dāng) 11 2x? ? ?? 時(shí), ( ) 0fx? ? ;當(dāng) 12x?? 時(shí), ( ) 0fx? ? . 從而, ()fx分別在區(qū)間 3 12????????, 12??? ??????,單調(diào)增加,在區(qū)間 112????????,單調(diào)減少. ( Ⅱ )由( Ⅰ )知 ()fx在區(qū)間 3144???????,的最小值為 11ln 224f ??? ? ?????. 又 3 1 3 9 7 1 3 1 1 4 9l n l n l n 1 l n4 4 2 1 6 2 1 6 7 2 2 9ff? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0?. 所以 ()fx在區(qū)間 3144???????,的最大值為 1 1 7ln4 16 2f ????????. 第 2 題 .曲線 12exy? 在點(diǎn) 2(4 e), 處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為( ) A. 29e2 B. 24e C. 22e D. 2e 答案: D 第 3 題 .設(shè)函數(shù) 2( ) ln( )f x x a x? ? ?. ( I)若當(dāng) 1x?? 時(shí), ()fx取得極值,求 a 的值,并討論 ()fx的單調(diào)性; ( II)若 ()fx存在極值,求 a 的取值范圍,并證明所有極值之和大于 eln2 . 答案: 解: ( Ⅰ ) 1( ) 2f x xxa? ??? , 依題意有 ( 1) 0f??? ,故 32a?. 從而 22 3 1 ( 2 1 ) ( 1 )()3322x x x xfxxx? ? ? ?? ????. ()fx的定義域?yàn)?32??? ??????, .當(dāng) 3 12 x? ? ?? 時(shí), ( ) 0fx? ? ; 當(dāng) 112x? ? ??時(shí), ( ) 0fx? ? ; 當(dāng) 12x?? 時(shí), ( ) 0fx? ? . 從而, ()fx分別在區(qū)間 31122? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, , ,單調(diào)增加,在區(qū)間 112????????,單調(diào)減少. ( Ⅱ ) ()fx的定義域?yàn)?()a? ??, , 22 2 1() x a xfx xa??? ? ?. 方程 22 2 1 0x ax? ? ?的判別式 248a?? ? . ( ⅰ )若 0?? ,即 22a? ? ? ,在 ()fx的定義域內(nèi) ( ) 0fx? ? ,故 ()fx無(wú)極值. ( ⅱ )若 0?? ,則 2a? 或 2a?? . 若 2a? , ( 2 )x? ? ??, , 2( 2 1)()2xfx x ?? ? ?. 當(dāng) 22x?? 時(shí), ( ) 0fx? ? ,當(dāng) 222x ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, ,時(shí), ( ) 0fx? ? ,所以 ()fx無(wú)極值. 若 2a?? , ( 2 )x? ??, , 2( 2 1)( ) 02xfx x ?? ???, ()fx也無(wú)極值. ( ⅲ )若 0?? ,即 2a? 或 2a?? ,則 22 2 1 0x ax? ? ?有兩個(gè)不同的實(shí)根 21 22aax ? ? ??, 22 22aax ? ? ??. 當(dāng) 2a?? 時(shí), 12x a x a? ? ? ?, ,從而 ()fx? 在 ()fx的定 義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn), 故 ()fx無(wú)極值. 當(dāng) 2a? 時(shí), 1xa?? , 2xa?? , ()fx? 在 ()fx的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn), 由極值判別方法知 ()fx在 12x x x x??, 取得極值. 綜上, ()fx存在極值時(shí), a 的取值范圍為 ( 2 )??, . ()fx的極值之和為 2 2 21 2 1 1 2 2 1e( ) ( ) l n ( ) l n ( ) l n 1 1 l n 2 l n22f x f x x a x x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 第 4 題 .函數(shù) 3( ) 12f x x x??在區(qū)間 [ 33]?, 上的最小值是 . 答案: 16? 第 5 題 .已知函數(shù) 3211() 32f x x a x b x? ? ?在區(qū)間 [11)?, , (13], 內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn). ( I)求 2 4ab? 的最大值; ( II)當(dāng) 2 48ab??時(shí),設(shè)函數(shù) ()y f x? 在點(diǎn) (1 (1))Af, 處的切線為 l ,若 l 在點(diǎn) A 處穿過(guò)函數(shù) ()y f x? 的圖象(即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn) A 附近沿曲線 ()y f x? 運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 時(shí),從 l 的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)),求函數(shù) ()fx的表達(dá)式. 答案: 解:( I)因?yàn)楹瘮?shù) 3211() 32f x x a x b x? ? ?在區(qū)間 [11)?, , (13], 內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn),所以 2()f x x ax b? ? ? ?0? 在 [11)?, , (13], 內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根, 設(shè)兩實(shí)根為 12xx, ( 12xx? ),則 221 4x x a b? ? ?,且 2104xx??≤ .于是 20 4 4ab??≤ , 20 4 16ab?? ≤ ,且當(dāng) 1 1x??, 2 3x? ,即 2a?? , 3b?? 時(shí)等號(hào)成立.故 2 4ab? 的最大值是 16. ( II)解法一:由 (1) 1f a b? ? ? ? 知 ()fx在點(diǎn) (1 (1))f, 處的切線 l 的方程是 (1) (1)( 1)y f f x?? ? ?,即 21(1 ) 32y a b x a? ? ? ? ?, 因?yàn)榍芯€ l 在點(diǎn) (1 (1))Af, 處穿過(guò) ()y f x? 的圖象, 所以 21( ) ( ) [ (1 ) ]32g x f x a b x a? ? ? ? ? ?在 1x? 兩邊附近的函數(shù)值異號(hào),則 1x? 不是 ()gx的極值點(diǎn). 而 ()gx 321 1 2 1( 1 )3 2 3 2x a x b x a b x a? ? ? ? ? ? ? ?,且 22( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )g x x a x b a b x a x a x x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 若 11a?? ? ,則 1x? 和 1xa?? ? 都是 ()gx 的極值點(diǎn). 所以 11a?? ? ,即 2a?? .又由 2 48ab??,得 1b?? .故 321()3f x x x x? ? ?. 解法二:同解法一得 21( ) ( ) [ (1 ) ]32g x f x a b x a? ? ? ? ? ? 21 3 3( 1 ) [ (1 ) ( 2 ) ]3 2 2ax x x a? ? ? ? ? ?. 因?yàn)榍芯€ l 在點(diǎn) (1 (1))Af, 處穿過(guò) ()y f x? 的圖象,所以 ()gx 在 1x? 兩邊附近的函數(shù)值異號(hào).于是存在 12mm, ( 121mm?? ). 當(dāng) 1 1mx??時(shí), ( ) 0gx? ,當(dāng) 21 xm?? 時(shí), ( ) 0gx? ; 或當(dāng) 1 1mx??時(shí), ( ) 0gx? ,當(dāng) 21 xm?? 時(shí), ( ) 0gx? . 設(shè) 2 33( ) 1 222aah x x x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?,則 當(dāng) 1 1mx??時(shí), ( ) 0hx? ,當(dāng) 21 xm?? 時(shí), ( ) 0hx? ; 或當(dāng) 1 1mx??時(shí), ( ) 0hx? ,當(dāng) 21 xm?? 時(shí), ( ) 0hx? . 由 (1) 0h ? 知 1x? 是 ()hx 的一個(gè)極值點(diǎn),則 3(1) 2 1 1 02ah? ? ? ? ? ?. 所以 2a?? .又由 2 48ab??,得 1b?? ,故 321() 3f x x x x? ? ? 第 6 題 .已知函數(shù) 3( ) 12 8f x x x? ? ?在區(qū)間 ? ?33?, 上的最大值與最小值分別為 M , m ,則Mm??_____. 答案: 32 第 7 題 .設(shè) 2: ( ) e l n 2 1xp f x x x m x? ? ? ? ?在 (0 )??, 內(nèi)單調(diào)遞增, :5qm?≥ ,則 p 是 q的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案: B 第 8 題 .設(shè)函數(shù) ( ) e exxfx ???. ( Ⅰ )證明: ()fx的導(dǎo)數(shù) ( ) 2fx? ≥ ; ( Ⅱ )若對(duì)所有 0x≥ 都有 ()f x ax≥ ,求 a 的取值范圍答案:解 : ( Ⅰ ) ()fx的導(dǎo)數(shù) ( ) e exxfx ?? ??. 由于 e e 2 e e 2x x x x???≥ ,故 ( ) 2fx? ≥ . (當(dāng)且僅當(dāng) 0x? 時(shí),等號(hào)成立). ( Ⅱ )令 ( ) ( )g x f x ax??,則 ( ) ( ) e exxg x f x a a???? ? ? ? ?, ( ⅰ )若 2a≤ ,當(dāng) 0x? 時(shí), ( ) e e 2 0xxg x a a?? ? ? ? ? ? ≥, 故 ()gx在 (0 )?, ∞ 上為增函數(shù), 所以, 0x≥ 時(shí), ( ) (0)g x g≥ ,即 ()f x ax≥ . ( ⅱ )若 2a? ,方程 ( ) 0gx? ? 的正根為 21 4ln 2aax ???, 此時(shí),若 1(0 )xx? , ,則 ( ) 0gx? ? ,故 ()gx 在該區(qū)間為減函數(shù). 所以, 1(0 )xx? , 時(shí), ( ) (0) 0g x g??,即 ()f x ax? ,與題設(shè) ()f x ax≥ 相矛盾. 綜上,滿足條件的 a 的取值范圍是 ? ?2?∞ , . 第 9 題 .曲線 313y x x??在點(diǎn) 413??????,處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為( ) A. 19 B. 29 C. 13 D. 23 答案: A 第 10 題 . (2021 全國(guó) I文 )設(shè)函數(shù) 32( ) 2 3 3 8f x x ax bx c? ? ? ?在 1x? 及 2x? 時(shí)取得極值. (Ⅰ)求 a、 b 的值; (Ⅱ)若對(duì)于任意的 [03]x? , ,都有 2()f x c? 成立,求 c 的取值范圍. 答案: (Ⅰ) 2( ) 6 6 3f x x ax b? ? ? ?, 因?yàn)楹瘮?shù) ()fx在 1x? 及 2x? 取得極值,則有 (1) 0f? ? , (2) 0f? ? . 即 6 6 3 024 12 3 0abab? ? ??? ? ? ?? , . B 1F O 2F P D A y x C 解得 3a?? , 4b? . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 32( ) 2 9 12 8f x x x x c? ? ? ?, 2( ) 6 1 8 1 2 6 ( 1 ) ( 2 )f x x x x x? ? ? ? ? ? ?. 當(dāng) (01)x? , 時(shí), ( ) 0fx? ? ; 當(dāng) (12)x?, 時(shí), ( ) 0fx? ? ; 當(dāng) (23)x? , 時(shí), ( ) 0fx? ? . 所以,當(dāng) 1x? 時(shí), ()fx取得極大值 (1) 5 8fc?? ,又 (0) 8fc? , (3) 9 8fc?? . 則當(dāng) ? ?03x? , 時(shí), ()fx的最大值為 (3) 9 8fc?? . 因?yàn)閷?duì)于任意的 ? ?03x? , ,有 2()f x c? 恒成立, 所以 298cc??, 解得 1c?? 或 9c? , 因此 c 的取值范圍為 ( 1) (9 )?? ? ? ?, , . 第 11 題 .已知函數(shù) 3()f x x x??. ( 1)求曲線 ()y f x? 在點(diǎn) ( ( ))M t f t, 處的切線方程; ( 2)設(shè) 0a? ,如果過(guò)點(diǎn) ()ab, 可作曲線 ()y f x? 的三條切線,證明: ()a b f a? ? ? . 答案: 解:( 1)求函數(shù) ()fx的導(dǎo)數(shù): 2( ) 3 1xxf ? ??. 曲線 ()y f x? 在點(diǎn) ( ( ))M t f t, 處的切線方程為: ( ) ( )( )y f t f t x t?? ? ?
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