【正文】 2 1 1 2 2 1e( ) ( ) l n ( ) l n ( ) l n 1 1 l n 2 l n22f x f x x a x x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 第 4 題 .函數(shù) 3( ) 12f x x x??在區(qū)間 [ 33]?， 上的最小值是 ． 答案： 16? 第 5 題 .已知函數(shù) 3211() 32f x x a x b x? ? ?在區(qū)間 [11)?， ， (13]， 內各有一個極值點． （ I）求 2 4ab? 的最大值； （ II）當 2 48ab??時，設函數(shù) ()y f x? 在點 (1 (1))Af， 處的切線為 l ，若 l 在點 A 處穿過函數(shù) ()y f x? 的圖象（即動點在點 A 附近沿曲線 ()y f x? 運動，經(jīng)過點 A 時，從 l 的一側進入另一側），求函數(shù) ()fx的表達式． 答案： 解：（ I）因為函數(shù) 3211() 32f x x a x b x? ? ?在區(qū)間 [11)?， ， (13]， 內分別有一個極值點，所以 2()f x x ax b? ? ? ?0? 在 [11)?， ， (13]， 內分別有一個實根， 設兩實根為 12xx， （ 12xx? ），則 221 4x x a b? ? ?，且 2104xx??≤ ．于是 20 4 4ab??≤ ， 20 4 16ab?? ≤ ，且當 1 1x??， 2 3x? ，即 2a?? ， 3b?? 時等號成立．故 2 4ab? 的最大值是 16． （ II）解法一：由 (1) 1f a b? ? ? ? 知 ()fx在點 (1 (1))f， 處的切線 l 的方程是 (1) (1)( 1)y f f x?? ? ?，即 21(1 ) 32y a b x a? ? ? ? ?， 因為切線 l 在點 (1 (1))Af， 處穿過 ()y f x? 的圖象， 所以 21( ) ( ) [ (1 ) ]32g x f x a b x a? ? ? ? ? ?在 1x? 兩邊附近的函數(shù)值異號，則 1x? 不是 ()gx的極值點． 而 ()gx 321 1 2 1( 1 )3 2 3 2x a x b x a b x a? ? ? ? ? ? ? ?，且 22( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )g x x a x b a b x a x a x x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 若 11a?? ? ，則 1x? 和 1xa?? ? 都是 ()gx 的極值點． 所以 11a?? ? ，即 2a?? ．又由 2 48ab??，得 1b?? ．故 321()3f x x x x? ? ?． 解法二：同解法一得 21( ) ( ) [ (1 ) ]32g x f x a b x a? ? ? ? ? ? 21 3 3( 1 ) [ (1 ) ( 2 ) ]3 2 2ax x x a? ? ? ? ? ?． 因為切線 l 在點 (1 (1))Af， 處穿過 ()y f x? 的圖象，所以 ()gx 在 1x? 兩邊附近的函數(shù)值異號．于是存在 12mm， （ 121mm?? ）． 當 1 1mx??時， ( ) 0gx? ，當 21 xm?? 時， ( ) 0gx? ； 或當 1 1mx??時， ( ) 0gx? ，當 21 xm?? 時， ( ) 0gx? ． 設 2 33( ) 1 222aah x x x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，則 當 1 1mx??時， ( ) 0hx? ，當 21 xm?? 時， ( ) 0hx? ； 或當 1 1mx??時， ( ) 0hx? ，當 21 xm?? 時， ( ) 0hx? ． 由 (1) 0h ? 知 1x? 是 ()hx 的一個極值點，則 3(1) 2 1 1 02ah? ? ? ? ? ?． 所以 2a?? ．又由 2 48ab??，得 1b?? ，故 321() 3f x x x x? ? ? 第 6 題 .已知函數(shù) 3( ) 12 8f x x x? ? ?在區(qū)間 ? ?33?， 上的最大值與最小值分別為 M ， m ，則Mm??_____． 答案： 32 第 7 題 .設 2: ( ) e l n 2 1xp f x x x m x? ? ? ? ?在 (0 )??， 內單調遞增， :5qm?≥ ，則 p 是 q的（ ） Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 Ｃ．充分必要條件 Ｄ．既不充分也不必要條件 答案： B 第 8 題 .設函數(shù) ( ) e exxfx ???． （ Ⅰ ）證明： ()fx的導數(shù) ( ) 2fx? ≥ ； （ Ⅱ ）若對所有 0x≥ 都有 ()f x ax≥ ，求 a 的取值范圍答案：解 ： （ Ⅰ ） ()fx的導數(shù) ( ) e exxfx ?? ??． 由于 e e 2 e e 2x x x x???≥ ，故 ( ) 2fx? ≥ ． （當且僅當 0x? 時，等號成立）． （ Ⅱ ）令 ( ) ( )g x f x ax??，則 ( ) ( ) e exxg x f x a a???? ? ? ? ?， （ ⅰ ）若 2a≤ ，當 0x? 時， ( ) e e 2 0xxg x a a?? ? ? ? ? ? ≥， 故 ()gx在 (0 )?， ∞ 上為增函數(shù)， 所以， 0x≥ 時， ( ) (0)g x g≥ ，即 ()f x ax≥ ． （ ⅱ ）若 2a? ，方程 ( ) 0gx? ? 的正根為 21 4ln 2aax ???， 此時，若 1(0 )xx? ， ，則 ( ) 0gx? ? ，故 ()gx 在該區(qū)間為減函數(shù)． 所以， 1(0 )xx? ， 時， ( ) (0) 0g x g??，即 ()f x ax? ，與題設 ()f x ax≥ 相矛盾． 綜上，滿足條件的 a 的取值范圍是 ? ?2?∞ ， ． 第 9 題 .曲線 313y x x??在點 413??????，處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（ ） Ａ． 19 Ｂ． 29 Ｃ． 13 Ｄ． 23 答案： A 第 10 題 . (2021 全國 I文 )設函數(shù) 32( ) 2 3 3 8f x x ax bx c? ? ? ?在 1x? 及 2x? 時取得極值． （Ⅰ）求 a、 b 的值； （Ⅱ）若對于任意的 [03]x? ， ，都有 2()f x c? 成立，求 c 的取值范圍． 答案： （Ⅰ） 2( ) 6 6 3f x x ax b? ? ? ?， 因為函數(shù) ()fx在 1x? 及 2x? 取得極值，則有 (1) 0f? ? ， (2) 0f? ? ． 即 6 6 3 024 12 3 0abab? ? ??? ? ? ?? ， ． B 1F O 2F P D A y x C 解得 3a?? ， 4b? ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 32( ) 2 9 12 8f x x x x c? ? ? ?， 2( ) 6 1 8 1 2 6 ( 1 ) ( 2 )f x x x x x? ? ? ? ? ? ?． 當 (01)x? ， 時， ( ) 0fx? ? ； 當 (12)x?， 時， ( ) 0fx? ? ； 當 (23)x? ， 時， ( ) 0fx? ? ． 所以，當 1x? 時， ()fx取得極大值 (1) 5 8fc?? ，又 (0) 8fc? ， (3) 9 8fc?? ． 則當 ? ?03x? ， 時， ()fx的最大值為 (3) 9 8fc?? ． 因為對于任意的 ? ?03x? ， ，有 2()f x c? 恒成立， 所以 298cc??， 解得 1c?? 或 9c? ， 因此 c 的取值范圍為 ( 1) (9 )?? ? ? ?， ， ． 第 11 題 .已知函數(shù) 3()f x x x??． （ 1）求曲線 ()y f x? 在點 ( ( ))M t f t， 處的切線方程； （ 2）設 0a? ，如果過點 ()ab， 可作曲線 ()y f x? 的三條切線，證明： ()a b f a? ? ? ． 答案： 解：（ 1）求函數(shù) ()fx的導數(shù)： 2( ) 3 1xxf ? ??． 曲線 ()y f x? 在點 ( ( ))M t f t， 處的切線方程為： ( ) ( )( )y f t f t x t?? ? ?， 即 23(3 1) 2y t x t? ? ?． （ 2）如果有一條切線過點 ()ab， ，則存在 t ，使 23(3 1) 2b t a t? ? ?． 于是，若過點 ()ab， 可作曲線 ()y f x? 的三條切線，則方程 322 3 0t at a b? ? ? ? 有三個相異的實數(shù)根． 記 32( ) 2 3g t t a t a b? ? ? ?， 則 2( ) 6 6g t t at? ?? 6 ( )t t a??． 當 t 變化時， ( ) ( )g t g t?， 變化情況如下表： t ( 0)??， 0 (0 )a， a ()a??，[ ()gt? ? 0 ? 0 ? ()gt 極大值 ab? 極小值()b f a? 由 ()gt 的單調性，當極大值 0ab?? 或極小值 ( ) 0b f a??時，方程 () 0gt? 最多有一個實數(shù)根； 當 0ab??時，解方程 () 0gt? 得 30 2att??， ，即方程 () 0gt? 只有兩個相異的實數(shù)根； 當 ( ) 0b f a??時，解方程 () 0gt? 得 2at t a?? ?， ，即方程 () 0gt? 只有兩個相異的實數(shù)根． 綜上，如果 過 ()ab， 可作曲線 ()y f x? 三條切線，即 () 0gt? 有三個相異的實數(shù)根，則 0( ) 0abb f a???? ??? ， ． 即 ()a b f a? ? ? ． 第 12 題 .設函數(shù)2 e()xfx x ax a? ??，其中 a 為實數(shù)． （ I）若 ()fx的定義域為 R ，求 a 的取值范圍 ； （ II）當 ()fx的定義域為 R 時，求 ()fx的單調減區(qū)間． 答案： 解：（Ⅰ） ()fx的定義域為 R ， 2 0x ax a? ? ? ?恒成立， 2 40aa?? ? ? ?， 04a? ? ? ，即當 04a?? 時 ()fx的定義域為 R ． （Ⅱ）22( 2 )e() ()xx x afxx a x a??? ? ??，令 ( ) 0fx? ≤ ，得 ( 2) 0x x a?? ≤ ． 由 ( ) 0fx? ? ，得 0x? 或 2xa?? ，又 04a?? ， 02a? ? ? 時，由 ( ) 0fx? ? 得 02xa? ? ? ； 當 2a? 時， ( ) 0fx? ≥ ；當 24a?? 時，由 ( ) 0fx? ? 得 20ax? ? ? ， 即當 02a?? 時， ()fx的單調減區(qū)間為 (02 )a?， ； 當 24a?? 時， ()fx的單調減區(qū)間為 (2 0)a?， ． 第 13 題 .設 3()3xfx? ，對任意實數(shù) t ，記 23 2() 3tg x t x t??． （ I）求函數(shù) 8( ) ( )y f x g x??的單調區(qū)間； （ II）求證：（ ⅰ ）當 0x? 時， ( ) ( )tf x g x≥ 對任意正實數(shù) t 成立； （ ⅱ ）有且僅有一個正實數(shù) 0x ，使得 8 0 0( ) ( )tg x g x≥ 對任意正實數(shù) t 成立． 答案： （ I）解： 3 16433xyx? ? ? ． 由 2 40yx?? ? ? ，得 2x?? ． 因為當 ( 2)x? ?? ?， 時， y??0 ， 當 ( 22)x??， 時， 0y?? ， 當 (2 )x? ??， 時， 0y?? ， 故所求函數(shù)的單調遞增區(qū)間是 ( 2)???， ， (2 )??， ， 單調遞減區(qū)間是 ( 22)?， ． （ II）證明：（ i）方法一： 令 23 3 2( ) ( ) ( ) ( 0 )33t xh x f x g x t x t x? ? ? ? ? ?，則 22 3()h x x t? ??， 當 0t? 時，由 ( ) 0hx? ? ，得 13xt? ． 當 13(0 )xx? ， 時， ( ) 0hx? ? ， 當 13()xx? ??， 時， ( ) 0hx? ? ， 所以 ()hx 在 (0 )??， 內的最小值是 13( ) 0ht? ． 故當 0x? 時， ( ) ( )tf x g x≥ 對任意正實數(shù) t 成立 ] 方法二： 對任意固定的 0x? ，令 23 2( ) ( ) ( 0 )3th t g x t x t t? ? ? ?，則 11332( ) ( )3h t t x t?? ??， 由 ( ) 0ht? ? ，得 3tx? ． 當 30 tx?? 時， ( ) 0ht? ? ． 當 3tx? 時， () 0ht? ? ， 所以當 3tx? 時， ()ht 取得最大值