20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修四第一章6．1余弦函數(shù)的圖像、6．2余弦函數(shù)的性質(zhì)練習(xí)題含答案(完整版)
【正文】 畫(huà)函數(shù) y＝－ cos x－ 1， x∈ [0， 2π ]的圖像 ． 解： 列表如下 x 0 π 2 π 3π2 2π y＝ cos x 1 0 － 1 0 1 y＝－ cos x－ 1 － 2 － 1 0 － 1 － 2 描點(diǎn)連線 ， 可得函數(shù) y＝－ cos x－ 1 在 [0， 2π ]上的圖像如圖： 方法歸納 (1)用五點(diǎn)法畫(huà)函數(shù) f(x)＝ acos x＋ b(a≠ 0)簡(jiǎn)圖的步驟如下： ① 列表； ② 描點(diǎn) ， 描出 (0， a＋ b)， ?? ??π 2 ， b ， (π ， － a＋ b)， ?? ??3π2 ， b ， (2π ， a＋ b)； ③ 連線 ， 用光滑的曲 線順次連接各點(diǎn)； ④ 將簡(jiǎn)圖左、右平移 2π 的整數(shù)倍得函數(shù) f(x)＝ acos x＋ b(a≠ 0)的圖像 ． (2)討論形如 f(x)＝ acos x＋ b(a≠ 0)的函數(shù)的性質(zhì)時(shí) ， 一般從定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值六個(gè)方面展開(kāi)討論 ． 1． (1)用五點(diǎn)法作函數(shù) y＝ sin?? ??x＋ π2 ＋ 1， x∈ [0， 2π ]的圖像時(shí) ， 應(yīng)取的五個(gè)關(guān)鍵 點(diǎn)是________． (2)畫(huà)出函數(shù) y＝－ cos x＋ 1 的簡(jiǎn)圖 ， 并根據(jù)圖像討論函數(shù)的性質(zhì) ． 解： (1)因?yàn)?y＝ sin ?? ??x＋ π2 ＋ 1＝ cos x＋ 1， x∈ [0， 2π ]， 所以應(yīng)取的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別為(0， 2)， ?? ??π 2 ， 1 ， (π ， 0)， ?? ??32π ， 1 ， (2π ， 2)． 故填 (0， 2)， ?? ??π 2 ， 1 ， (π ， 0)， ?? ??32π ， 1 ，(2π ， 2)． (2)列表： x 0 π 2 π 3π2 2π y＝ cos x 1 0 － 1 0 1 y＝－ cos x＋ 1 0 1 2 1 0 描點(diǎn)并畫(huà)出圖像 ． 由圖像可知函數(shù) y＝－ cos x＋ 1 有以下性質(zhì)： 定義域： R；值域： [0， 2]； 奇偶性：偶函數(shù)；周期性：最小正周期是 2π ； 單調(diào)性：在區(qū)間 [2kπ ， 2kπ ＋ π ](k∈ Z)上是增加的 ， 在區(qū)間 [2kπ ＋ π ， 2kπ ＋ 2π ](k∈ Z)上是減少的 ． 最大與最 小值：當(dāng) x＝ (2k＋ 1)π (k∈ Z)時(shí) ， 最大值為 2； 當(dāng) x＝ 2kπ (k∈ Z)時(shí) ， 最小值為 0. 余弦函數(shù)的定義域、值域 求下列函數(shù)的定義域、值域 ． (1)y＝ 1－ 2cos x； (2)y＝ lg(2cos x－ 3)． (鏈接教材 P34習(xí)題 1－ 6 A組 T T4) [解 ] (1)由題意 ， 得 1－ 2cos x≥ 0， 所以 cos x≤ 12， 解得 2kπ ＋ π 3 ≤ x≤ 2kπ ＋ 5π3 (k∈ Z)． 所以原函數(shù)的定義域?yàn)? ??????x??2kπ ＋ π3 ≤ x≤ 2kπ ＋5π3 ， k∈ Z. 因?yàn)椋?1≤ cos x≤ 1， 所以－ 2≤ － 2cos x≤ 2， 所以－ 1≤ 1－ 2cos x≤ 3， 又 y＝ 1－ 2cos x≥ 0， 所以原函數(shù)的值域?yàn)?[0， 3 ]． (2)由題意 ， 得 2cos x－ 30， 所以 cos x 32 ， 結(jié)合 y＝ cos x的圖像 (如圖 )可得：－ π 6 ＋2kπ xπ 6 ＋ 2kπ (k∈ Z)． 所以原函數(shù)的定義域?yàn)? ??????x??－ π6 ＋ 2kπ xπ6＋ 2kπ ， k∈ Z. 因?yàn)椋?1≤ cos x≤ 1， 所以－ 2－ 3≤ 2cos x－ 3≤ 2－ 3. 因?yàn)?y＝ lg x 在 (0， ＋ ∞ )上為增函數(shù) ． 所以 y＝ lg(2cos x－ 3)的值域?yàn)?(－ ∞ ， lg(2－ 3)]． 方法歸納 (1)利用余弦函數(shù)的圖像解三角不等式 ， 其一般步驟是： ① 作出 y＝ cos x 在一個(gè)周期上的圖像； ② 在一個(gè)周期內(nèi) ， 根據(jù)圖像求出適合條件的角的范圍； ③ 依據(jù) y＝ cos x的周期性 ，求出所有符合條件的角的集合 ． (2)求三角函數(shù)的值域要熟練應(yīng)用函數(shù)圖像的單調(diào)性及正、余弦函數(shù)的有界性 ． 2． (1)求函數(shù) y＝ lg(2sin x－ 1)＋ 1－ 2cos x的定義域 ． (2)已知 x∈ ?? ??－ π 3 ， 2π3 ， ① 求函數(shù) y＝ cos x 的值域； ② 求函數(shù) y＝－ 3(1－ cos2x)－ 4cos x＋ 4 的最大值、最小值 ． 解： (1)要使函數(shù)有意義 ， 必須滿足?????1－ 2cos x≥ 0，2sin x－ 10， 即???cos x≤ 12，sin x12. 作出函數(shù) y＝ cos x 和 y＝ sin x 的圖像如圖所示 ， 由正弦、余弦函數(shù)的圖像 ， 解得?????π3 ＋ 2kπ ≤ x≤ 5π3 ＋ 2kπ ， k∈ Z，π6 ＋ 2kπ x5π6 ＋ 2kπ ， k∈ Z， 即 π 3 ＋ 2kπ ≤ x5π6 ＋ 2kπ ， k∈ Z. 所以此函數(shù)的定義域?yàn)??? ??π 3 ＋ 2kπ ， 5π6 ＋ 2kπ (k∈ Z)． (2)① 畫(huà)出函數(shù) y＝ cos x， x∈ ?? ??－ π3 ， 2π3 的圖像 ， 如圖所示： 由圖像可知：當(dāng) x＝ 0 時(shí) ， 函數(shù)取最大值 1. 當(dāng) x＝ 2π3 時(shí) ， 函數(shù)取最小值－ 12. 所以函數(shù) y＝ cos x， x∈ ?? ??－ π3 ， 2π3 的值 域?yàn)??? ??－ 12， 1 . ② 原函數(shù)可化為 y＝ 3cos2x－ 4cos x＋ 1. 令 t＝ cos x， 則由 ① 知 t∈ ?? ??－ 12， 1 ， 所以 y＝ 3t2－ 4t＋ 1＝ 3?? ??t－ 232－ 13. 當(dāng) t＝－ 12時(shí) ， 函數(shù)取最大值 154 . 當(dāng) t＝ 23時(shí) ， 函數(shù)取最 小值－ 13. 所以函數(shù) y＝－
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