20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修四第一章 6．1余弦函數(shù)的圖像、6．2余弦函數(shù)的性質(zhì) 練習(xí)題含答案-全文預(yù)覽
【正文】 軸對稱 B． 關(guān)于原點(diǎn)對稱 C． 關(guān)于 y 軸對稱 D． 關(guān)于直線 x＝ π 4 對稱 (2)判斷下列函數(shù)的奇偶性 ． ① f(x)＝ 3cos 2x； ② f(x)＝ sin?? ??π 2 ＋ 34x . (3)求下列函數(shù)的遞增區(qū)間： ① y＝ cos 2x； ② y＝ cos?? ??π 4 － x . 解： (1)選 f(x)＝－ 4cos 2x 為偶函數(shù) ， 所以該函數(shù)的圖像關(guān)于 y 軸對稱 ． (2)① 函數(shù)的定義域?yàn)?R. 因?yàn)?f(－ x)＝ 3cos(－ 2x)＝ 3cos 2x＝ f(x)， 所以 f(x)為偶函數(shù) ． ② 函數(shù)的定義域?yàn)?(x)＝ sin?? ??π 2 ＋ 34x ＝ cos 34x. 因?yàn)?f(－ x)＝ cos?? ??－ 34x ＝ cos3x4 ＝ f(x)， 所以 f(x)為偶函數(shù) ． (3)① 先求定義域?yàn)???? ???x|2kπ － π 2 ≤ 2x≤ 2kπ ＋ π2 ， k∈ Z ， 而要保證遞增 ， 則 2kπ － π 2 ≤2x≤ 2kπ ， k∈ Z， 即 kπ － π 4 ≤ x≤ kπ ， k∈ Z， 所以原函數(shù)的遞增區(qū)間為 ?? ??kπ － π 4 ， kπ ， k∈ Z. ② 因?yàn)?y＝ cos?? ??π 4 － x ＝ cos?? ??x－ π 4 ， 由 2kπ － π ≤ x－ π 4 ≤ 2kπ ， k∈ Z? 2kπ － 3π4 ≤ x≤ 2kπ ＋ π 4 ， k∈ Z， 所以所求遞增區(qū)間為 ?? ??2kπ － 3π4 ， 2kπ ＋ π4 ， k∈ Z. 規(guī)范解答 利用分類討論的思想求參數(shù)的值 (本題滿分 12 分 )當(dāng)函數(shù) y＝－ cos2x＋ acos x－ a2－ 12(a≥ － 2)的最大值為 1時(shí) ， 求實(shí)數(shù) a 的值 ． [解 ] 設(shè) t＝ cos x， 則 y＝－ t2＋ at－ a2－ 12 ＝－ ?? ??t－ a22＋ a24－a2－12， 3 分 其中－ 1≤ t≤ 1， 對稱軸 t＝ 分 ① 若－ 1≤ a2≤ 1， 即－ 2≤ a≤ 2 時(shí) ， 當(dāng) t＝ a2時(shí) ， ymax＝ a24－a2－12， 6 分 令 a24－a2－12＝ 1， 解得 a＝ 1177。 7， 舍去 a＝ 1＋ 7， 所以 a＝ 1－ 分 ② 若 a2＞ 1， 即 a＞ 2 時(shí) ， 當(dāng) t＝ 1 時(shí) ， ymax＝ a2－ 32. 令 a2－ 32＝ 1， 所以 a＝ 5， 11 分 綜上所述 ， a＝ 1－ 7或 a＝ 5. 12 分 [規(guī)范與警示 ] (1)在 處 ， 換元后將函數(shù)的一般式變形為頂點(diǎn)式 ， 為利用二次函數(shù)的性質(zhì)及 “ 最大值為 1” 這一條件奠定基礎(chǔ) ． 這是解題的關(guān)鍵點(diǎn) ． 在 處 ， 由 a≥ － 2， 函數(shù)在不同的區(qū)間內(nèi)最值不同 ， 所以對參數(shù) a進(jìn)行分類討論 ， 分兩類討論 ， 即 ① － 1≤ a2≤ 1， ② a2＞ 1， 本步為易漏點(diǎn) ， 也是失分點(diǎn) ． 解答 本題常忽視 處 ， 只是令 t＝ a2得 ymax＝ a24－12a－12＝ 1， 從而遺漏了在a21 時(shí) ， t＝ 1取得最大值這一情況而造成錯(cuò)解是又一失分 點(diǎn) ， 在 處的這種總結(jié)性概述也是必須的 ． (2)要規(guī)范地解答本題 ， 除運(yùn)用好余弦函數(shù)的有界性、二次函數(shù)在閉區(qū)間上求值的方法外 ， 同時(shí)還要做好邏輯劃分進(jìn)行分類討論 ． 1． 已知函數(shù) f(x)＝ sin?? ??x－ π2 (x∈ R)， 則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是 ( ) A． 函數(shù) f(x)的最小正周期 為 2π B． 函數(shù) f(x)在區(qū)間 ?? ??0， π 2 上是增加的 C． 函數(shù) f(x)的圖像關(guān)于直線 x＝ 0 對稱 D． 函數(shù) f(x)是奇函數(shù) 解析： 選 (x)＝ sin?? ??x－ π 2 ＝－ cos x(x∈ R)， 所以函數(shù) f(x)是偶函數(shù) ． 故選 D. 2． 函數(shù) y＝－ xcos x 的部分圖像是下圖中的 ( ) 解析： 選 y＝－ xcos x 是奇函數(shù) ， 圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱 ， 所以排除選項(xiàng) A， C；當(dāng) x∈ ?? ??0， π2 時(shí) ， y＝－ xcos x0， 所以排除選項(xiàng) D. 3． 函數(shù) y＝ cos x 在區(qū)間 [－π ， a]上是增加的 ， 則 a 的取值范圍為 ________． 解析： 因?yàn)?y＝ cos x 在 [－ π ， 0]上是增加的 ， 所以－ π a≤ 0. 答案： (－ π ， 0] 4． 若 函數(shù) f(x)＝?????x2， x0，4cos x， 0≤ xπ 2 ， 則不等式 f(x)2 的解集是 ________． 解析： 當(dāng) x0 時(shí) ， f(x)＝ x2， 由 x22， 得 x－ 2；當(dāng) 0≤ xπ 2 時(shí) ， f(x)＝ 4cos x， 由 4cos x2，得 cos x12， 解得 0≤ xπ 3 .綜上 ， 不等式 f(x)2 的解集是 (－ ∞ ， － 2)∪ ?? ??0， π3 . 答案： (－ ∞ ， － 2)∪ ?? ??0， π3 [ ] 1． 設(shè) M 和 m 分別是函數(shù) y＝ 13cos x－ 1 的最大值和最小值 ， 則 M＋ m 等于 ( ) B． － 23 C． － 43 D． － 2 解析： 選 y＝ cos x 的性質(zhì) (或圖像 )確定 M、 m. 由 y＝ 13cos x－ 1， 可知 ymax＝ M＝ 13－ 1＝－ 23， ymin＝ m＝－ 13－ 1＝－ M＋ m＝－ 2. f(x)＝ cos x在 [－ b， － a](ab)上是增加的 ， 則 f(x)在 [a， b]上是 ( ) A． 奇函數(shù) B． 偶函數(shù) C． 減少的 D． 增加的 解析： 選 f(x)＝ cos x在 R上為偶函數(shù) ， 所以根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知 f(x)在 [a， b]上是減少的 ． 3． 函數(shù) y＝ cos?? ??x＋ π6 ， x∈ ?? ??0， π2 的值域是 ( )
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