不等式放縮技巧十法(完整版)
【正文】 解：設(shè)，則由立刻得解： 且取“＝”的充要條件是：。 （Ⅰ）求函數(shù)最小值；（Ⅱ）求證：對(duì)于任意，有【解析】（Ⅰ）1；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得，對(duì)x－1有，利用此結(jié)論進(jìn)行巧妙賦值：取，則有即對(duì)于任意，有例9 設(shè)，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且[解析] 引入一個(gè)結(jié)論：若則（可通過(guò)構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列求和放縮來(lái)證明，略）整理上式得（），以代入（）式得即單調(diào)遞增?！咀ⅰ竣俦绢}為02年高考北京卷題，有著深厚的科學(xué)背景：是計(jì)算機(jī)開(kāi)平方設(shè)計(jì)迭代程序的根據(jù)；同時(shí)有著高等數(shù)學(xué)背景——數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限： ②是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對(duì)此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。1）……1176。N*時(shí)有……2176。式成立，從而結(jié)論成立。法1 由（Ⅰ）知，原不等式成立．思路2 將右邊看成是關(guān)于x的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)研究其最值來(lái)解決：法2 設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值．原不等式成立．（Ⅲ）思路1 考慮本題是遞進(jìn)式設(shè)問(wèn)，利用（Ⅱ）的結(jié)論來(lái)探究解題思路：由（Ⅱ）知，對(duì)任意的，有．取，則．原不等式成立．【注】本解法的著眼點(diǎn)是對(duì)上述不等式中的x進(jìn)行巧妙賦值，當(dāng)然，賦值方法不止一種，如：還可令，得 思路2 所證不等式是與正整數(shù)n有關(guān)的命題，能否直接用數(shù)學(xué)歸納法給予證明？嘗試： （1）當(dāng)時(shí)，成立； （2）假設(shè)命題對(duì)成立，即則當(dāng)時(shí)，有 ，只要證明；即證，即證用二項(xiàng)式定理（展開(kāi)式部分項(xiàng)）證明，再驗(yàn)證前幾項(xiàng)即可。 用放縮法證明不等式,綜合性強(qiáng),思維含量與跨度大, 以上方法不是截然分開(kāi)的,往往需要根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征綜合使用這些方法. 以上所舉25道例題大多選自近些年來(lái)的高考試題、模擬題或競(jìng)賽中的容易題, 甚至是課本上例習(xí)題的加工題，不一定每一道題都是高考中所謂的難題, 所涉及的十種方法也僅僅是示范此類問(wèn)題的大致的思考與解決方向, 解決難度稍大的綜合題無(wú)疑需要綜合使用這些技巧,但是這些技巧也難以全面解決證明不等式的所有問(wèn)題, 如構(gòu)造輔助函數(shù)通過(guò)求導(dǎo)證明某些不等式的具體技巧, 將在下節(jié)講述. 22?？尚薷娜缦拢嚎紤]是某數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，只要證明思路3 深入觀察所證不等式的結(jié)構(gòu)特征, 利用均值不等式可得如下妙證： 由取倒數(shù)易得：，用n項(xiàng)的均值不等式：，【例25】已知函數(shù)f(x)=x21(x0)，設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)（xn,f(xn)）處的切線與x軸的交點(diǎn)為（xn+1,0）(n∈N*). (Ⅰ) 用xn表示xn+1；（Ⅱ）求使不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立的充要條件，并說(shuō)明理由；（Ⅲ）若x1=2，求證：【解析】(Ⅰ) （Ⅱ）使不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立的充要條件是x1≥1.
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