構造法證明不等式例析(完整版)
【正文】 聯(lián)系，通過構造一次函數(shù)式，利用一次函數(shù)的有關特性，完成不等式的證明．例1 設0≤a、b、c≤2，求證：4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．證明：視a為自變量，構造一次函數(shù)= 4a＋b＋c＋abc－2ab－2bc－2ca = (bc－2b－2c＋4)a＋(b＋c－2bc)，由0≤a≤2，知表示一條線段．又= b＋c－2bc = (b－c)≥0，= b＋c－4b－4c＋8 = (b－2)＋(c－2)≥0，可見上述線段在橫軸及其上方，∴≥0，即4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．二、構造二次函數(shù)法證明不等式對一些不等式證明的題目，若能巧妙構造一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的有關特性，可以簡潔地完成不等式證明． 例2 實數(shù)a、b、c滿足( a＋c)( a＋b＋c)＜0，求證：( b－c )＞4a( a＋b＋c)．證明：由已知得a = 0時，b≠c，否則與( a＋c)( a＋b＋c)＜0矛盾，故a = 0時，( b－c )＞4a( a＋b＋c)成立．當a≠0時，構造二次函數(shù)= ax＋( b－c )x＋( a＋b＋c)，則有= a＋b＋c，= 2(a＋c)，而||cos=DE1作∠COB的角平分線OD，由三角形內角平分線的性質，得=，∴＜1，即|BD|＜|DC|，∵|BE|＞|BD|，∴|AE|＞|AD|．∵AE =[|AB|＋|A
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