【正文】 f1(t)， f2(t),… , fn(t)定義在 (t1,t2)區(qū)間上，并且在 (t1,t2) 內(nèi)有 則 {f1(t)， f2(t),… , fn(t)} 在 (t1,t2)內(nèi)稱為 正交函數(shù)集 ，其中 i, r=1,2,… ,n。 傅里葉級數(shù)與變換的應用 物理學、組合數(shù)學、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學、聲學、光學 等。 式中， Ci為加權(quán)系數(shù)，且有 )()()()( 2211 tfCtfCtfCtf nn???? ??? ( 3 9 ) 常稱正交展開式，有時也稱為歐拉傅里葉公式或廣義傅里葉級數(shù)， Ci稱為傅里葉級數(shù)系數(shù)。 結(jié)論： 一個函數(shù)集是否正交， 與它所在區(qū)間有關，在某一區(qū)間可能正交， 而在另一區(qū)間又可能不正交。 但在電子、通信、控制等工程技術中的周期信號一般都能滿足這個條件，故以后一般不再特別注明此條件。 其傅里葉級數(shù)展開式中只含有正弦和余弦項的 奇次諧波分量 。 收斂性 幅度譜的譜線幅度隨著 n→ ∞ 而逐漸衰減到零。 當周期無限增大時， f(t)變?yōu)?非周期信號 ，從而周期信號的離散頻譜過渡到非周期信號的 連續(xù)頻譜 . ??t)(tf12TE1T?nc4E2E?1???2??4??t)(tf12TE1T?nc4E8E?1???2 若 T1不變， τ 減小一倍 ，即 T1=4τ 1→ T1=8τ 2 如果保持矩形信號的 周期 T1 不變 ，而 改變脈沖寬度 τ ，此時譜線間隔不變。它表明周期信號的平均功率完全可以在頻域 Fn用加以確定。但如果取絕對值再進行積分， ??? ??? ???? ???? ? ?? dtetfdtetfdtetf tjtjtj ??? )()()(則必有 證： ? ????? dtetfjF tj ?? )()(??? ? ??? ? dtetfjF tj ?? )()( (3 4 0) 1?? tje ?又 ?? ?????? ? ? dttfdtetf tj )()( ? (3 41) 故 如果 ?????? dttf )(則 )()( ?? jFdtetf tj ?? ???? 必然存在。 EG: )(2)(21)(1)()()(?????????????ftFFttf〔 例 ]若信號 f(t)的傅里葉變換為 求 f(t) 解 : ??????????2022)(??????AF??????????2022)(????? AtF根據(jù)對稱性得 Sa函數(shù)為偶函數(shù) )2()( ???? SaAf ???將 F(ω)中的 ω換成 t，并考慮 F(ω)為 ω的實函數(shù) )2(2)}({ ???? SaAtfF ???傅里葉變換由定義式可知為 奇偶虛實性 (折疊性 ) 無論 f(t)是實函數(shù)還是復函數(shù)，都有： ???????????))(()())(()()()()()(**為虛函數(shù)為實函數(shù)則：若tfFtfFFtfFtf????)()]([)()]([)()]([****???FtfFFtfFFtfF???????(1) 當 f(t)為 實函數(shù) 時，則 當 f(t)為 實偶函數(shù) f(t) = f(t) ，則 )()()()()( )( ???? ?? jXReFFtf j ????若????????????????)()()()()()()()(??????????XXRRFF))((0)( )()( 為實偶函數(shù)?? ?? FX RF?????當 f(t)為 實奇函數(shù) ，則 (2) 當 f(t)為 虛函數(shù) ，則 ))((0)( )()( 為虛奇函數(shù)?? ?? FR jXF?????????????????????)()()()()()()()(??????????XXRRFF四、尺度變換性 由上可見，信號在 時域中壓縮 等效在 頻域中擴展 ； 反之，信號在時域中擴展等效在頻域中壓縮。 1)(]1)([))((?????????????jjddjttuF九、時域積分性 〔 例 〕 求圖所示信號 f(t)的頻譜函數(shù) F(ω) 。 ????????????? Sadxxftf t ?????? ? ??十、頻域積分性 〔 例 〕 已知 求 F(ω ) 解 : ? ? ? ?)1()1()1()1(22)(2 1)s i n( ?????????? ? ?????????? jjeejt jtjt? ? ? ?)1()1()1()1(1)s i n( ???????? ? ?? ??????? UUdxxxjjt t??????? ?? dFtfjttfFtf????)()()0()()()(則：若=π[u(ω+1) u(ω1)] 十一、時域卷積定理 )()()(*)()()()()(21212211????FFtftfFtfFtf????則：若解： 因 ???1)()()( tGtGtf ??〔 例 〕 如圖所示的三角形函數(shù) 可看做為兩個如圖所示門函數(shù)卷積。它不是有限值，而是沖激函數(shù)，這表明在無窮小的頻帶范圍 (即諧頻點 )取得了無窮大的頻譜值。 to()fto?1m?m??()F ?to T S E( 1 )()pto?s?s??()P ?s?to T S()sfto?m?s?s??()sF ?sT/1均勻沖激抽樣，稱為“ 理想抽樣 ”； 矩形脈沖抽樣，也稱為“ 自然抽樣 ”。 連續(xù)信號離散化時 允許的 最低抽樣頻率。已知 ，系統(tǒng) H1(ω )的頻率特性如圖 (b)所示 , H2(ω )為一個理想低通濾波器。 頻域抽樣定理： 若信號 f(t) 集中在（ tm， tm）的時間范圍內(nèi)，若在頻域中以不大于 1/2tm的頻率間隔對 f(t)的頻譜 F(ω )抽樣，抽樣后頻譜 F1(ω )可以惟一表示原信號。 341。 34。 ????????mmF?????01)(0(2) 根據(jù)抽樣定理，抽樣頻率應滿足 ω s≥ 2ω m 即 2π /Ts≥ 2ω m ，所以 最大間隔 Ts應為 π /ω m ，即奈奎斯特間隔。 三、頻域抽樣定理 的頻譜 Fs(ω ) 是 F (ω) 的形狀以 ωs為周期等幅的 重復 。 當 ω s 2ω m時， 則各頻移的 頻譜將相互有重疊部分 ，無法將它們分開，因而不能再恢復原信號。試求其頻譜函數(shù) ??t)(tf2/?2/?? 1T1T?E)2(Sa)(1 1101 1??????nTEjFTF nn ?? ?)2(Sa)(0 ???? ?? EjFnF1TE??1? 12???2??4設： 411?T????????????????????????nnnnnntnSaEnFnFF)()2()(2)(2)(11111????????????????1? 12???2??4)( 1??E)( ?jF離散信號 離散化 離散化 前節(jié)知識點回顧： 傅立葉變換及其基本性質(zhì)； 周期信號的傅里葉變換； 連續(xù)信號 離散信號 fs(t)能否包含 f(t)的信息？ 什么條件下的抽樣可以恢復原信號 f(t)? 問題 : 離散化 離散化 (a)滿足抽樣定理語音，抽樣頻率 sf(b) 抽樣頻率 /5sf(c)頻譜混疊，抽樣頻率 /8sf?A/D量化編碼 數(shù)字濾波器 D/A ()sft()ft()pt()yt 利用抽樣脈沖序列 p(t)從 連續(xù)信號 f(t)中 “ 抽取 ” 一系列的 離散樣值 。 tf ( t )10?? ? t( t )G ?102/?? 2/?1( a ) ( b )圖 3 2 4)2()( ????? SaG ??得： )2()( 2 ???? SaF ??tf (t )10?? ? t(t )G ?102/?? 2/?1( a ) ( b )圖 3 2 4〔 例 〕 一個信號 f(t)的希伯特變換 是f(t)和 的卷積，即 求其傅里葉變換。39。 解 : 根據(jù)尺度變換性 的頻譜函數(shù) )]2()2([)(4?? ???? tutuEtf)2()(4 ???? SaEF ??)2()( 4 tftf ?)4(2)2(21)( 4 ????? SaEFF ???圖 3 2 1E2/02/ ???)(0?jF0? ?E?? /2? ?? /2t)(0tfE4/04/ ???t)( tf)( ?jF0?2/?E?? /4 五、 時移特性 〔 例 〕 ：求下圖所示的單邊矩形脈沖信號的頻譜函數(shù) F(ω) 。對奇雙邊指數(shù)信號 : ????????????)0(1)0(0)0(1)s g n ()(5tttttf)0(00)(3 ?????????? ? atetetfatat當 a→0 時，有 )s g n ()(