【正文】 其傅里葉級數(shù)展開式中 只含直流分量和余弦分量 ，即 ω1 奇函數(shù) 若周期信號 f(t)波形相對于縱坐標是反對稱的，即滿足 f(t)=f(t) 其傅里葉級數(shù)展開式中 只含有正弦項 ，即 ω 奇諧函數(shù) 若周期信號 f(t)波形沿時間軸平移半個周期后與原波形相對于時間軸像對稱，即滿足 則稱為 奇諧函數(shù)或半波對稱函數(shù)。 )(tft21T1T21T?)2( 1Ttf ?t21T1T?21T?偶諧函數(shù) 若周期信號 f(t)波形沿時間軸平移半個周期后與原波形完全重疊，即滿足 則為 偶諧函數(shù)或半周期重疊函數(shù)。 21T21T?t1T)(tf一、信號頻譜的概念 從廣義上說，信號的某種特征量 隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的 頻譜 ，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。 雙 邊頻譜 若周期信號 f(t)的傅里葉級數(shù)展開式為 n?則對應(yīng)的振幅頻譜 Fn 和相位頻譜 稱為 雙邊頻譜。 諧波性 譜線出現(xiàn)在基波頻率 ω 1= 2π /T1的整數(shù)倍上。 頻譜圖的特點 （以矩形波的頻譜為例） （ a）單邊振幅頻譜與雙邊振幅頻譜 將雙邊振幅頻譜負 n一邊對折到 n一邊，并將振幅相加，便得到單邊振幅 (b) 頻譜是離散的，兩譜線間隔為 ω 1=2π /T1 (c)直流分量、基波及各次諧波分量的大小正比于脈幅E和脈寬 τ ，反比于周期 T1，其變化受包絡(luò)線 sinx/x的牽制。因此 稱為 零分量頻率 。 ??? 2~0? 通常把 這段頻率范圍稱為矩形信號的有效頻譜寬度 或信號的占有頻帶，記作 頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系 （ T1, ） ? 若 τ 不變， T1擴大一倍 ，即 T1=4τ 1→ T2=8τ 1 ??t)(tf12TE1T?nc4E2E?1???2??4??t)(tfE1T?nc4E8E?1???2??4(1) 離散譜線的間隔 ω 1=2π /T 1將變小，即 譜線變密 。 (3) 由于不變，故 零分量頻率位置不變 ，信號有效頻譜寬度亦不變。 ① 若減小 τ 頻譜中的第一個零分量頻率 ω1=2π/τ 增大 ， 同時出現(xiàn)零分量頻率的次數(shù)減小，相鄰兩個零分量頻率間所含的諧波分量增大。 ② 若增大，則反之。 周期矩形信號 一個周期內(nèi) 的表達式為： )(tf?????????????11122202)(TtTETtEtf????????? ???6,4,205,3,12s i n)(2 10 11 nnnEt d tntfTbTn ??2E2E?21T?21T0)(tft1T(1)三角形式傅里葉級數(shù)： 因此 )5s i n513s i n31( s i n2s i n12)(1115,3,11??????? ?????????ttEtnnEtfn得 11 , 3 , 521( ) c o s ( )2nEf t n tn????????)5,3,1(2)a rc t a n( ?????? nabnnn??nncb???????????6,4,205,3,12nnnE??????????????????????6,4,205,3,12)(21nnnjEbjjbaF nnnn ?（ 2）指數(shù)形式傅里葉級數(shù) nc?1? 13? 15?0??E2?32E?52En?01? 13? 15?2??? ?2??2?n?15?? 13?? 1??1? 13? 15? ???nF?E?3E?5E1? 13? 15??1??13??15????)(tf2/E2/E?t1T1T? 41T41T?對稱矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù) )5c o s513c o s31(c o s2c o s)2(Sa)(11111?????? ???tttEtnnEtfn??????022 20101 ?? ? T dtETa0?nb)2(. ..6,4,20. ..5,3,12)s i n (124)c o s (24 4411144111111?????nSaEnnnEtnnETdttnETaTTTTn?????????????????ncE?1?13?15?17?nc?1?13? 15?E17?1? 13? 15? 17???n? 周期鋸齒脈沖信號 E/2 t f(t) E/2 T1/2 T1/2 周期鋸齒脈沖信號的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以1/n的規(guī)律收斂。 2/1 nE f(t) t T1 T1/2 T1/2 T1 ......)3c os31(c os42)( 1212 ???? ttEEtf ???三、 周期信號的功率譜 f(t)的平均功率定義為在 1Ω 電阻上消耗的平均功率，即 ??? 2/ 2/ 2 )(1 T T dttfTP (3 28) 該式稱為 帕塞瓦爾 (Parseval)定理 。 實際上它反映周期信號 在時域的平均功率 等于頻域中的直流功率分量和各次諧波平均功率分量 之和 。顯然，周期信號的功率譜也是離散譜。設(shè) E=1， T1=1/4， 解： 因為 周期信號的平均功率為 在 有效頻譜寬度 內(nèi)信號的平均功率為 ?????? }{2 2423222120 FFFFFP BWSSS aaa )}54()53()5({5 25 1 22222 ???? ???故 在所給出的周期矩形脈沖情況下，包含在有效頻譜寬度內(nèi)的信號平均功率約占整個信號平均功率的 90%。 ??t)(tf2?2?? 21T21T?1T1T?E??1T t)(tf2?2??E?1T ??112T?? ?譜線間隔??1T 0211 ?? T?? 0?譜線間隔周期信號的離散譜 非周期信號的連續(xù)譜 一、傅里葉變換 頻譜密度函數(shù) F（ ω）稱為頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù) 推得： 110110)()(2)( limlim11TnFnFFT?? ???? ????dtetfF tj? ?????? ?? )()(??? ? deFtf tj? ????? )(2 1)(傅里葉變換 傅里葉正變換式 ，記為 : F[ f(t) ]=F(ω) 或 f(t)→F(ω). dtetfF tj? ???? ?? ?? )()(??? ? deFtf tj? ????? )(2 1)( 傅里葉逆變換式 ，記為 : )()()()}({1 tfFtfFF ??? ?? 或傅里葉變換的存在條件（充分條件） ? ??? ??dttf )( (3 3 9) 要使 F(ω )存在必須 : tjetf ??)(是變量 t的函數(shù)，它可正可負。 二、典型信號的傅里葉變換 單邊指數(shù)信號 )(tf1t???????000)(1ttetfat幅度頻譜 : 2211)(????aF相位頻譜 )a rc t a n()( a??? ?????jadteeFtjat??? ??? ?? 1)(01幅度頻譜 : 2211)(????aF相位頻譜 )a rc t a n()( a??? ??偶雙邊指數(shù)信號 taetf ??)(2幅度頻譜 2222)(?? ?? aaF相位頻譜 0)( ???2222)(?????? ???????aadteeF tjta奇雙邊指數(shù)信號 )0(00)(3 ???????????atetetfatat2232)(????? aF???????????0202)(??????220032)(??? ???????? ???? ?????ajdteedteeFtjattjat矩形脈沖信號 )]2()2([)(4 ?? ???? tutuEtf)2()(4 ???? SaEF ?? ,. ..2,1,0])1(4)12(2[])12(24[0)( ???????????????? nnnnn?????????????)2()2s i n(2)( 224?????????? SaEEdtEeF tj ???? ? ??? 符號函數(shù)信號 信號不滿足絕對可積條件，但它卻存在傅里葉變換。這種頻譜常常被叫做 “ 均勻譜 ” 或“ 白色頻譜 ” 。 解： 因為 f（ t） =u(t)=1/2+(1/2)sgn(t) )()()()()()()()(21212211????bFaFtbftafFtfFtf?????則：若????????? jjF1)(221)(221)( ?????? 對稱性 證明： 因為 將上式中變量 ω 和 t互換 )(2)()()( ??? ??? ftFFtf 則：若)(2)( ?? ?? ftF??? ? deFtf tj? ????? )(2 1)(??? ? d