【正文】 1)2()( ?tttf????tt?????????01)2()( ?tttf解 : 將 f(t)微分兩次后，得 )(1)(2)(1)(39。 解 : 根據(jù)尺度變換性 的頻譜函數(shù) )]2()2([)(4?? ???? tutuEtf)2()(4 ???? SaEF ??)2()( 4 tftf ?)4(2)2(21)( 4 ????? SaEFF ???圖 3 2 1E2/02/ ???)(0?jF0? ?E?? /2? ?? /2t)(0tfE4/04/ ???t)( tf)( ?jF0?2/?E?? /4 五、 時(shí)移特性 〔 例 〕 ：求下圖所示的單邊矩形脈沖信號(hào)的頻譜函數(shù) F(ω) 。 EG: )(2)(21)(1)()()(?????????????ftFFttf〔 例 ]若信號(hào) f(t)的傅里葉變換為 求 f(t) 解 : ??????????2022)(??????AF??????????2022)(????? AtF根據(jù)對(duì)稱性得 Sa函數(shù)為偶函數(shù) )2()( ???? SaAf ???將 F(ω)中的 ω?fù)Q成 t，并考慮 F(ω)為 ω的實(shí)函數(shù) )2(2)}({ ???? SaAtfF ???傅里葉變換由定義式可知為 奇偶虛實(shí)性 (折疊性 ) 無論 f(t)是實(shí)函數(shù)還是復(fù)函數(shù)，都有： ???????????))(()())(()()()()()(**為虛函數(shù)為實(shí)函數(shù)則：若tfFtfFFtfFtf????)()]([)()]([)()]([****???FtfFFtfFFtfF???????(1) 當(dāng) f(t)為 實(shí)函數(shù) 時(shí)，則 當(dāng) f(t)為 實(shí)偶函數(shù) f(t) = f(t) ，則 )()()()()( )( ???? ?? jXReFFtf j ????若????????????????)()()()()()()()(??????????XXRRFF))((0)( )()( 為實(shí)偶函數(shù)?? ?? FX RF?????當(dāng) f(t)為 實(shí)奇函數(shù) ，則 (2) 當(dāng) f(t)為 虛函數(shù) ，則 ))((0)( )()( 為虛奇函數(shù)?? ?? FR jXF?????????????????????)()()()()()()()(??????????XXRRFF四、尺度變換性 由上可見，信號(hào)在 時(shí)域中壓縮 等效在 頻域中擴(kuò)展 ； 反之，信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展等效在頻域中壓縮。 其幅度之比為常數(shù) 2π 。 沖激函數(shù)的傅里葉變換 )(1 tf?/12/?2/?? t1 1 ( ) Sa ( )2Fj ??? ???2 ??4??2???4??0??)(t?t)1(0??1 1)( ??jF?1)(8 ??F沖激偶的傅里葉變換 ,1)]([ ?t?? F 上式兩邊對(duì) t 求導(dǎo)得： ? ???? ???? ? dejtdtd tj)(2 1)(同理： F F ? ???? ??? ? det tj2 1)(三、 傅里葉變換的基本性質(zhì) 線性 〔 例 〕 利用傅里葉變換的線性性質(zhì)求單位階躍信號(hào)的頻譜函數(shù)。對(duì)奇雙邊指數(shù)信號(hào) : ????????????)0(1)0(0)0(1)s g n ()(5tttttf)0(00)(3 ?????????? ? atetetfatat當(dāng) a→0 時(shí)，有 )s g n ()(30l i m ttfa????2)(5 ?F???????????0202)(???????????jajFF aa2)2()()(220305 l i ml i m ????? ?? 單位直流信號(hào) 該信號(hào)也不滿足絕對(duì)可積條件，但可利用指數(shù)函數(shù)取極限 ?????? ttf 1)(61)()( limlim0206??? ???taaaetftf????????220002)()(22220206 l i ml i m??????????????????daaaaFFaa且)(2)(6 ???? ?F 單位階躍信號(hào) u（ t） 可利用單邊指數(shù)函數(shù)求其傅里葉變換，即 )()()()( l i ml i m0107tuetftutf ataa??????])([1)()( 222200107 limlimlim ?????? ??????? ??? ajaajaFF aaa)(220l i m???? ??? aaa????? jF1)()(7 ?? 單位沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)，也就是說，在整個(gè)頻率范圍內(nèi)頻譜是均勻的。但如果取絕對(duì)值再進(jìn)行積分， ??? ??? ???? ???? ? ?? dtetfdtetfdtetf tjtjtj ??? )()()(則必有 證： ? ????? dtetfjF tj ?? )()(??? ? ??? ? dtetfjF tj ?? )()( (3 4 0) 1?? tje ?又 ?? ?????? ? ? dttfdtetf tj )()( ? (3 41) 故 如果 ?????? dttf )(則 )()( ?? jFdtetf tj ?? ???? 必然存在。 5/)5/s i n(51)2( ????nnnSTEFan ???ω1 3． 4 傅里葉變換 根據(jù)完備正交函數(shù)中的定理二可知，信號(hào)的能量是不會(huì)變的，在各個(gè)域中能量應(yīng)該守恒，也是說之前用傅里葉級(jí)數(shù)推得頻譜函數(shù)是行不通的，怎么解決？ 問題：非周期信號(hào)的頻譜是怎樣的？ 周期信號(hào) T1→∞ 時(shí)，周期信號(hào)就演變?yōu)榉侵芷谛盘?hào)， 而， T1→∞ ，使得 Fn→0 ，那又何談非周期信號(hào)的頻譜問題。 2nF〔 例 〕 試求圖所示周期矩形脈沖信號(hào) f(t)在有效頻譜寬度內(nèi)，諧波分量所具有的平均功率占整個(gè)信號(hào)平均功率的百分比。 若 f(t)的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)展開式代入 與 nω 1的關(guān)系稱為周期信號(hào)的 功率頻譜 ，簡(jiǎn)稱為功率譜。它表明周期信號(hào)的平均功率完全可以在頻域 Fn用加以確定。 周期三角脈沖信號(hào) 周期三角脈沖的頻譜只包含直流、奇次諧波的余弦分量，諧波的幅度以 的規(guī)律收斂。 譜線間隔 ω 1=2π /T1 只與周期 T1有關(guān)，且與T1 成反比； 零值點(diǎn)頻率 ω 1=2mπ /τ 只與 τ 有關(guān)，且與 τ 成反比； 譜線幅度 與 T1和 τ 都有關(guān)系，且與 T1 成反比與 τ 成正比。 并且各次諧波的振幅減小，即振幅收斂速度變慢。 當(dāng)周期無限增大時(shí)， f(t)變?yōu)?非周期信號(hào) ，從而周期信號(hào)的離散頻譜過渡到非周期信號(hào)的 連續(xù)頻譜 . ??t)(tf12TE1T?nc4E2E?1???2??4??t)(tf12TE1T?nc4E8E?1???2 若 T1不變， τ 減小一倍 ，即 T1=4τ 1→ T1=8τ 2 如果保持矩形信號(hào)的 周期 T1 不變 ，而 改變脈沖寬度 τ ，此時(shí)譜線間隔不變。 (2) 各譜線的幅度將變小，包絡(luò)線變化緩慢，即振幅收斂速度變慢 。 )2,1( 2 ??????? mm? ?? 2 ? ?? m?(e) 周期矩形脈沖信號(hào)包含無限多條譜線，可分解為無限多個(gè)頻率分量，但其 主要能量集中在第一個(gè)零分量頻率之內(nèi) 。 (d) 當(dāng) 時(shí)，譜線的包絡(luò)線過零點(diǎn)。 收斂性 幅度譜的譜線幅度隨著 n→ ∞ 而逐漸衰減到零。 單邊頻譜 若周期信號(hào) f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為 )c os ()( 110 nnntncctf ?? ??? ?????????ntjnenFtf 1)()(1?? 周期矩形脈沖信號(hào) (1) 傅里葉級(jí)數(shù) ??t)(tf2?2?? 21T21T?1T1T?E0?nb112211001 1 14 4 2( ) c o s c o s Sa ( )2TnnnEa f t n td t E n td t cT T T? ?????? ? ? ???4 4 2 二、常用信號(hào)的頻譜 周期矩形脈沖信號(hào)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)為 f(t)的指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為 nc1TE?12TE??1? 12???2??4nc1TE?12TE??1? 12???2 ??4??2 ??4??n?（ 2）頻譜圖 nF1TE??1? 12???2??4nF1TE??1? 12???2??4??2 ??4??n?????2???4?nc1TE?12TE??1? 12???2??4nF1TE??1? 12???2??4nc1TE?12TE??1? 12???2 ??4nF1TE??1? 12???2??4??2 ??4??n???2 ??4??n?????2???4?單邊頻譜圖 雙邊頻譜圖 周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn) 離散性 頻譜是離散的而不是連續(xù)的，這種頻譜稱為離散頻譜。 描述各次諧波 振幅 與