高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第5章2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算課時(shí)作業(yè)(存儲版)
【正文】 11－ 7i ＝ i－ 1. 8．已知若 z1， z2是非零復(fù)數(shù)，且 |z1＋ z2|＝ |z1－ z2|，求證： z1z2是純虛數(shù)． [證明 ] 證法一：設(shè) z1＝ a1＋ b1i， z2＝ a2＋ b2i(a1， b1， a2， b2∈ R 且 a1與 b a2與 b2不同時(shí)為 0)， 由 |z1＋ z2|＝ |z1－ z2|，得 a1a2＋ b1b2＝ 0，于是 z1z2＝ a1a2＋ b1b2 ＋ b1a2－ a1b2a22＋ b22＝b1a2－ a1b2a22＋ b22 i. 因?yàn)?z≠0 ，所以 b1a2－ a1b2≠0 ，即 z1z2是純虛數(shù)． 證法二：將已知等式變形為 |z2||z1z2＋ 1|＝ |z2||z1z2－ 1|，故 |z1z2＋ 1|＝ |z1z2－ 1|，設(shè) z1z2＝ a＋ bi(a， b∈ R)，則有 (a＋ 1)2＋ b2＝ (a－ 1)2＋ b2，從而解得 a＝ 0， 又 z1z2≠0 ，故 b≠0 ，所以 z1z2為純虛數(shù)． 證法三：將已知等式變形為 |z2||z1z2＋ 1|＝ |z2||z1z2－ 1|，故 |z1z2＋ 1|＝ |z1z2－ 1|， 令 z＝ z1z2，則原等式化為 |z＋ 1|＝ |z－ 1|， 而變形后的幾何意義是：表示點(diǎn) Z 到兩定點(diǎn) A(1,0)、 B(－ 1,0)的距離相等，則動(dòng)點(diǎn) Z的圖形就是 AB的垂直平分線，即 y軸 (原點(diǎn)除外 )，于是有 z＝ ai(a∈ R， a≠0) ． 所以 z1z2為純虛數(shù)． [點(diǎn)評 ] 上述三法風(fēng)格迥異，證法一可謂通性通法，強(qiáng)調(diào)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及復(fù)數(shù)運(yùn)算；證法二突出的是復(fù)數(shù)模的性質(zhì)的應(yīng)用，計(jì)算簡捷，明了；證法三注重了復(fù)數(shù)幾何意義的使用，使問題更直觀、形象．后兩種證法技巧性強(qiáng)，但運(yùn)算量?。? 。 安徽理， 1)設(shè) i是虛數(shù)單位， z 表示復(fù)數(shù) z的共軛復(fù)數(shù)，若 z＝ 1＋ i，則 zi＋ i 福建理， 1)復(fù)數(shù) z＝ (3－ 2i)i的共軛復(fù)數(shù) z－ 等于 ( ) A．－ 2－ 3i B．－ 2＋ 3i C． 2－ 3i D． 2＋ 3i [答案 ] C [解析 ] ∵ z＝ (3－ 2i)i＝ 3i＋ 2， ∴ z ＝ 2－ 3i，復(fù)數(shù) z＝
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