高中數(shù)學北師大版選修2-2第5章2《復數(shù)的四則運算》課時作業(yè)-全文預覽
【正文】 － 2 － 211－ 7i ＝ 0； 從而 － 2 3＋ i1＋ 2 3i＋ ??? ???21＋ i 3204＋ －2－ － 4＋ 211－ 7i ＝ i－ 1. 8．已知若 z1， z2是非零復數(shù)，且 |z1＋ z2|＝ |z1－ z2|，求證： z1z2是純虛數(shù)． [證明 ] 證法一：設 z1＝ a1＋ b1i， z2＝ a2＋ b2i(a1， b1， a2， b2∈ R 且 a1與 b a2與 b2不同時為 0)， 由 |z1＋ z2|＝ |z1－ z2|，得 a1a2＋ b1b2＝ 0，于是 z1z2＝ a1a2＋ b1b2 ＋ b1a2－ a1b2a22＋ b22＝b1a2－ a1b2a22＋ b22 i. 因為 z≠0 ，所以 b1a2－ a1b2≠0 ，即 z1z2是純虛數(shù)． 證法二：將已知等式變形為 |z2||z1z2＋ 1|＝ |z2||z1z2－ 1|，故 |z1z2＋ 1|＝ |z1z2－ 1|，設 z1z2＝ a＋ bi(a， b∈ R)，則有 (a＋ 1)2＋ b2＝ (a－ 1)2＋ b2，從而解得 a＝ 0， 又 z1z2≠0 ，故 b≠0 ，所以 z1z2為純虛數(shù)． 證法三：將已知等式變形為 |z2||z1z2＋ 1|＝ |z2||z1z2－ 1|，故 |z1z2＋ 1|＝ |z1z2－ 1|， 令 z＝ z1z2，則原等式化為 |z＋ 1|＝ |z－ 1|， 而變形后的幾何意義是：表示點 Z 到兩定點 A(1,0)、 B(－ 1,0)的距離相等，則動點 Z的圖形就是 AB的垂直平分線，即 y軸 (原點除外 )，于是有 z＝ ai(a∈ R， a≠0) ． 所以 z1z2為純虛數(shù)． [點評 ] 上述三法風格迥異，證法一可謂通性通法，強調(diào)復數(shù)的代數(shù)形式及復數(shù)運算；證法二突出的是復數(shù)模的性質(zhì)的應用，計算簡捷，明了；證法三注重了復數(shù)幾何意義的使用，使問題更直觀、形象．后兩種證法技巧性強，但運算量?。? 。 32 i [答案 ] B [解析 ] 由 z2＋ z＋ 1＝ 0，不難聯(lián)想到立方差公式，從而將 z得出．將 z2＋ z＋ 1＝ 0 兩邊同乘 (z－ 1)，得 z3－ 1＝ 0，即 z3＝ 1(z≠1) ．則 z4＝
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