高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第一章《推理與證明》綜合測(cè)試-全文預(yù)覽
【正文】 BC中， AB⊥ AC， AD⊥ BC于 D，求證： 1AD2＝ 1AB2＋ 1AC2，那么在四面體 ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想？并說明理由． [證明 ] 如圖 (1)所示，由射影定理 AD2＝ BD DC ＝ BC2BD AC2. 又 BC2＝ AB2＋ AC2， ∴ 1AD2＝ AB2＋ AC2AB2 kBP＝ y－ y0x－ x0b2＋ 1b2 ?? 2n＋ 12n n＋ 1. ① 當(dāng) n＝ 1時(shí)，左邊＝ 32，右邊＝ 2，因?yàn)?32 2，所以不等式成立． ② 假設(shè)當(dāng) n＝ k(k∈ N＋ )時(shí)，不等式成立， 即 32 2k＋ 12k k＋ n＝ k＋ 1時(shí)， 左邊＝ 32 2k＋ 12k ? 2k＋ 32k＋ 2＝ k＋2k＋ ＝ k＋2＋ k＋ ＋ 1k＋ ＝ k＋ ＋ 1＋ 1k＋ k＋ ＋ 1， 所以當(dāng) n＝ k＋ 1時(shí)，不等式也成立． 由 ①② 可得，不等式對(duì)任何 n∈ N＋ 都成立， 即 b1＋ 1b1 76 76 54 54bn＋ 1bn n＋ 1成立． [解析 ] (1)因?yàn)閷?duì)任意 n∈ N＋ ，點(diǎn) (n， Sn)均在函數(shù) y＝ bx＋ r(b0 且 b≠1 ， b， r均為常數(shù) )的圖像上，所以 Sn＝ bn＋ n＝ 1時(shí)， a1＝ S1＝ b＋ r， 當(dāng) n≥2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ bn＋ r－ (bn－ 1＋ r)＝ bn－ bn－ 1＝ (b－ 1)bn－ 1， 又因?yàn)?{an}為等比數(shù)列，所以 r＝－ 1，公比為 b， an＝ (b－ 1)bn－ 1. (2)證明：當(dāng) b＝ 2時(shí)， an＝ (b－ 1)bn－ 1＝ 2n－ 1， bn＝ 2(log2an＋ 1)＝ 2(log22n－ 1＋ 1)＝ 2n， 則 bn＋ 1bn＝ 2n＋ 12n ，所以 b1＋ 1b1 kBP＝－b2a2. 故在橢圓 x2a2＋y2b2＝ 1(ab0)中，長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)為 A， B， P為異于 A， B的橢圓上的任意一點(diǎn)，則有 kAP kBC＝－ x2a2＋y2b2＝ 1(ab0)中有什么樣的結(jié)論？并加以證明． [解析 ] 類比得到的結(jié)論是：在橢圓 x2a2＋y2b2＝ 1(ab0)中， A， B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右 端點(diǎn)，點(diǎn) P(x， y)是橢圓上不同于 A， B的任意一點(diǎn)，則 kAP DC BC， AC2＝ BC S△ MNL， ∴ S2△ OMN＋ S2△ OML＋ S2△ ONL＝ (S△ MNE＋ S△ MLE＋ S△ NLE)( 12MN LF， OF2＝ FE 陜西文， 10)設(shè) f(x)＝ ln x,0＜ a＜ b，若 p＝ f( ab)， q＝ f??? ???a＋ b2 ， r＝ 12(f(a)＋ f(b))，則下列關(guān)系式中正確的是 ( ) A． q＝ r＜ p B． q＝ r＞ p C． p＝ r＜ q D． p＝ r＞ q [答案 ] C [解析 ] p＝ f( ab)＝ ln ab＝ 12ln (ab)； q＝ f(a＋ b2 )＝ ln a＋ b2 ； r＝ 12(f(a)＋ f(b))＝ 12ln (ab)，因?yàn)?a＋ b2 ＞ ab， 由 f(x)＝ ln x是個(gè)遞增函數(shù)， f(a＋ b2 )＞ f( ab)， 所以 q＞ p＝ r，故答案選 C． 二、填空題 (本大題共 5小題，每小題 5分，共 25分 ) 11.(2021 長(zhǎng)安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)一模 )設(shè) △ ABC 的三邊長(zhǎng)分別為 a、 b、 c， △ ABC的面積為 S，內(nèi)切圓半徑為 r，則 r＝ 2Sa＋ b＋ c；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體 P－ ABC的四個(gè)面的面積分別為 S S S S4，內(nèi)切球的半徑為 r，四面體 P
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