高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-1第一章《充分條件與必要條件》-全文預(yù)覽
【正文】 的解集只含有一個(gè)元素的充要條件是 p2＝ 4q . [一點(diǎn)通 ] 充要條件的證明問(wèn)題，要證明兩個(gè)方面，一是充分性，二是必要性．為此必須要搞清條件，在 “A是B的充要條件 ”中， A?B是充分性， B?A是必要性；在 “A的充要條件是 B”中， A?B是必要性， B?A是充分性． 4．不等式 x2－ ax＋ 10的解集為 R的充要條件是 ________． 解析： 若 x2－ ax＋ 10的解集為 R，則 Δ＝ a2－ 40，即－2a2. 又當(dāng) a∈ (－ 2,2)時(shí)， Δ0，可得 x2－ ax＋ 10的解集為 R，故不等式 x2－ ax＋ 10的解集為 R的充要條件是－ 2a2. 答案： － 2a2 證明： 先證充分性， ∵ A B ， ∴ a b . 則 2 R sin A 2Rsin B ， ∴ sin A sin B . 再證必要性． ∵ sin Asin B ， ∴a2Rb2R，即 a b . ∴ A B ， ∴△ ABC 中， A B 是 sinA sin B 的充要條件． 5．求證： △ ABC中， AB是 sin Asin B的充要條件． 6．求證：關(guān)于 x的方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0有一個(gè)根為 1的充要條 件是 a＋ b＋ c＝ 0. 證明： 先證必要性： ∵ 方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0有一個(gè)根為 1， ∴ x＝ 1滿足方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0. ∴ a 12＋ b 1＋ c＝ 0，即 a＋ b＋ c＝ 0. ∴ 必要性成立． 再證充分性： ∵ a＋ b＋ c＝ 0， ∴ c＝－ a－ b. 代入方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0中可得： ax2＋ bx－ a－ b＝ 0，即 (x－ 1)(ax＋ b＋ a)＝ 0. 故方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0有一個(gè)根為 1. 故關(guān)于 x的方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0有一個(gè)根為 1的充要條件是 a＋ b＋ c＝ 0. [例 3] (12分 )設(shè) p： |4x－ 3|≤1； q： x2－ (2a＋ 1)x＋ a2＋ a≤0，若 p是 q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) a的取值范圍． [思路點(diǎn)撥 ] 本題可先分別得出 p， q對(duì)應(yīng)的集合，然后把條件轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系處理． [ 精解詳析 ] 因?yàn)?| 4 x － 3| ≤ 1 ，所以12≤ x ≤ 1 ，即 p ：12≤ x ≤ (2 分 ) 由 x2－ (2 a ＋ 1) x ＋ a2＋ a ≤0 ， 得 ( x － a )[( x － ( a ＋ 1) ] ≤0 ， 所以 a ≤ x ≤ a ＋ 1 ， 即 q ： a ≤ x ≤ a ＋ (5 分 ) 因?yàn)?p 是 q 的充分不必要條件， 所以 p
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