20xx89數學歸納法證明不等式(存儲版)
【正文】 ?? 時 , 有 ( 1 ) 1xx? ??? ≤ ( 1 )x ?? 證明貝努利不等式你有第二種方法嗎？ 例 已知 x ?1，且 x?0， n?N*， n≥ 2． 求證： (1+x)n1+nx. （ 2）假設 n=k(k≥ 2)時，不等式成立，即 (1+x)k1+kx 當 n=k+1時，因為 x ?1 ，所以 1+x0，于是 左邊 =(1+x)k+1 證明 :(1)當 n=2時，左＝ (1＋ x)2=1+2x+x2 ∵ x?0， ∴ 1+2x+x21+2x=右 ,∴ n=2時不等式成立 =(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右邊 =1+(k+1)x． 因為 kx2＞ 0，所以左邊＞右邊，即 (1+x)k+11+(k+1)x． 這就是說，原不等式當 n=k+1時也成立． 根據 (1)和 (2)，原不等式對任何不小于 2的自然數 n都成立 . 1答案 2答案 注 ： 這 一 命 題 與 均 值 不 等式 是 等 價 的 . 你能根據上面不等式推出均值不等式嗎？ 思考 2 證明 : 如果 (nn 為正整數 ) 個正數12, , , na a a的乘積12 1na a a ?, 那么它們的和12 na a a n? ? ? ≥. 思考 2 證明 : 如果 (nn 為正整數 ) 個正數12, , , na a a的乘積12 1na a a ?, 那么它們的和12 na a a n? ? ? ≥. 證
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