圓錐曲線專題(存儲版)
【正文】 問題，如果直線與橢圓有兩個不同交點(diǎn)，可將直線方程y＝kx＋c代入橢圓方程＋＝1整理出關(guān)于x(或y)的一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0，Δ＝B2－4AC 0，可利用根與系數(shù)之間的關(guān)系求弦長(弦長為)．2．圓錐曲線綜合問題要四重視：(1)重視定義在解題中的作用；(2)重視平面幾何知識在解題中的作用；(3)重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用；(4)重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征在解題中的作用．失 誤 與 防 范1．在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況．2．中點(diǎn)弦問題，可以利用“點(diǎn)差法”，但不要忘記驗(yàn)證Δ0或說明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部．練出高分A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練1．直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點(diǎn)，則k的值為 ( )A．1 B．1或3 C．0 D．1或0解 析由得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，則y＝2，若k≠0，若Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，因此直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點(diǎn)，則k＝0或k＝1.2．AB為過橢圓＋＝1中心的弦，F(xiàn)(c,0)為它的焦點(diǎn)，則△FAB的最大面積為 ( )A．b2 B．a(chǎn)b C．a(chǎn)c D．bc解 析設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)、(－x1，－y1)，則S△FAB＝|OF||2y1|＝c|y1|≤bc.3．過拋物線y2＝2px (p0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為60176。|xE－xD|＝＝，4x2－y2－4＝0.故動點(diǎn)M的軌跡C的方程為4x2－y2－4＝0(x≠1且x≠－1)．(2)由消去y，可得3x2－2mx－m2－4＝0.(*)對于方程(*)，其判別式Δ＝(－2m)2－43(－m2－4)＝16m2＋480，而當(dāng)1或－1為方程(*)的根時，m的值為－1或1.結(jié)合題設(shè)(m0)可知，m0且m≠1.設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為(xQ，yQ)，(xR，yR)，則xQ，xR為方程(*)的兩根．因?yàn)閨PQ||PR|，所以|xQ||xR|，xQ＝，xR＝.所以＝＝＝1＋.此時1，且≠2，所以11＋3，且1＋≠，所以1＝3，且＝≠.綜上所述，的取值范圍是∪.題型二 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題 【例2】 已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A，兩個焦點(diǎn)為(－1,0)、(1,0)． (1)求橢圓C的方程；(2)E、F是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．[思維啟迪]可設(shè)直線AE的斜率來計(jì)算直線EF的斜率，通過推理計(jì)算消參．解析 (1)解 由題意，c＝1，可設(shè)橢圓方程為＋＝1.因?yàn)锳在橢圓上，所以＋＝1，解得b2＝3，b2＝－(舍去)，所以橢圓方程為＋＝1.(2)證明 設(shè)直線AE的方程為y＝k(x－1)＋，代入＋＝1.得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0.設(shè)E(xE，yE)，F(xiàn)(xF，yF)．因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，所以xE＝y(tǒng)E＝kxE＋－，在上式中以－k代替k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k，所以直線EF的斜率kEF＝＝＝，即直線EF的斜率為定值，其值為.[探究提高]求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．變式訓(xùn)練2 橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，該橢圓經(jīng)過點(diǎn)P且離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左，右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)解 設(shè)橢圓方程為＋＝1 (ab0)，由e＝＝，得a＝2c，∵a2＝b2＋c2，∴b2＝3c2，則橢圓方程變?yōu)椋?.又橢圓過點(diǎn)P，將其代入求得c2＝1，故a2＝4，b2＝3，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)證明 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立則①又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.∵橢圓的右頂點(diǎn)為A2(2,0)，AA2⊥BA2，∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
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