圓錐曲線專題-免費閱讀
【正文】 又|AF|＝3，即|AD|＝3，|AC|＝6，∴F為AC的中點，KF為△ACD的中位線， ∴p＝|FK|＝|AD|＝，所求拋物線方程為y2＝3x.7．(13分)(2012.對任意x0∈(－2,2)，要使為常數(shù)，即只需t滿足解得t＝－＝2，故存在t＝－1，使得△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)2.該直線恒過一個定點A(，0)． 思想與方法典例：(12分)已知橢圓＋＝1上的兩個動點P，Q，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1＋x2＝2.(1)求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個定點A；(2)設點A關于原點O的對稱點是B，求|PB|的最小值及相應的P點坐標．審 題 視 角(1)引入?yún)?shù)PQ中點的縱坐標，先求kPQ，利用直線PQ的方程求解．(2)建立|PB|關于動點坐標的目標函數(shù)，利用函數(shù)的性質求最值．規(guī) 范 解 答(1)證明 ∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2.當x1≠x2時，由，得＝－(＋)＝(x，y)如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.①若a＝0，當圓錐曲線是雙曲線時，直線l與雙曲線的漸近線平行或重合；當圓錐曲線是拋物線時，直線l與拋物線的對稱軸平行或重合．②若a≠0，設Δ＝b2－4ac.a．Δ ＞ 0時，直線和圓錐曲線相交于不同兩點；b．Δ ＝ 0時，直線和圓錐曲線相切于一點；c．Δ ＜ 0時，直線和圓錐曲線沒有公共點．2.“點差法”的常見題型 求中點弦方程、求(過定點、平行弦)弦中點軌跡、垂直平分線問題．必須提醒的是“點差法”具有不等價性，即要考慮判別式Δ0是否成立．3．直線與圓錐曲線相交時的弦長問題(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長|P1P2|＝ 或|P1P2|＝ .(2)當斜率k不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用軸上兩點間距離公式)．4．圓錐曲線的中點弦問題遇到中點弦問題常用“根與系數(shù)的關系”或“點差法”求解．在橢圓＋＝1中，以P(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜率k＝－；在雙曲線－＝1中，以P(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜率k＝；在拋物線y2＝2px (p0)中，以P(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜率k＝.題型一 圓錐曲線中的范圍、最值問題 【例1】 已知拋物線C：y2＝4x，過點A(－1,0)的直線交拋物線C于P、Q兩點，設＝λ.(1)若點P關于x軸的對稱點為M，求證：直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點F；(2)若λ∈，求|PQ|的最大值．[思維啟迪](1)可利用向量共線證明直線MQ過F；(2)建立|PQ|和λ的關系，然后求最值．解析：(1)證明 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．∵＝λ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴y＝λ2y，y＝4x1，y＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，又F(1,0)，∴＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2)＝λ＝λ，∴直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點F.(2)解 由(1)知x2＝，x1＝λ，得x1x2＝1，y2?[－4，4]，所以符合題意的直線l不存在．方法二 (1)依題意，可設橢圓C的方程為＋＝1(ab0)，且有從而a2＝16.所以橢圓C的方程為＋＝1.(2)同方法一．[探究提高]解決直線與圓錐曲線位置關系的存在性問題，往往是先假設所求的元素存在，然后再推理論證，檢驗說明假設是否正確．變式訓練3 (20124＝＝＝＝，由此得＝3，選C.4．(2011＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.故OP⊥OQ.(3)證明 當直線ON垂直于x軸時，|ON|＝1，|OM|＝，則O到直線MN的距離為.當直線ON不垂直于x軸時，設直線ON的方程為y＝kx，則直線OM的方程為y＝－x.由得所以|ON|2＝.同理|OM|2＝.設O到直線MN的距離為d，因為(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，所以＝＋＝＝3，即d＝.綜上，O到直線MN的距離是定值．。感悟提高方 法 與 技 巧1．解決直線與橢圓的位置關系
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