圓錐曲線專題-全文預(yù)覽
【正文】 )的焦點(diǎn)F且傾斜角為60176。＝3.3．如圖，已知過拋物線y2＝2px (p0)的焦點(diǎn)F的直線x－my＋m＝0與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且△OAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為2，則m6＋m4的值是( ) A．1 B. C．2 D．4解 析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可知，＝－m，將x＝my－m代入拋物線方程y2＝2px(p0)中，整理得y2－2pmy＋2pm＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm，∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝(2pm)2－8pm＝16m4＋16m2，又△OAB的面積S＝|y1－y2|＝(－m)4＝2，兩邊平方即可得m6＋m4＝2.4．直線y＝kx＋1與橢圓＋＝1恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是______________．∵方程＋＝1表示橢圓，∴m0且m≠5.∵直線y＝kx＋1恒過(0,1)點(diǎn)，∴要使直線與橢圓總有公共點(diǎn)，應(yīng)有：＋≤1，m≥1，∴m的取值范圍是m≥1且m≠5.5．已知雙曲線－＝1 (a1，b0)的焦距為2c，離心率為e，若點(diǎn)(－1,0)與(1,0)到直線－＝1的距離之和s≥c，則e的取值范圍是__________．解 析由題意知s＝＋＝≥c，∴2c2≤5ab，∴≤.又＝＝，∴2e2≤5，∴4e4≤25(e2－1)，∴4e4－25e2＋25≤0，∴≤e2≤5，∴≤e≤.6．若過拋物線y2＝2px (p0)的焦點(diǎn)F的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為____________．如圖，過A、B分別作AD、BE垂直于準(zhǔn)線，垂足分別為D、E.由|BC|＝2|BF|，即|BC|＝2|BE|，則∠BCE＝30176。＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.故OP⊥OQ.(3)證明 當(dāng)直線ON垂直于x軸時(shí)，|ON|＝1，|OM|＝，則O到直線MN的距離為.當(dāng)直線ON不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線ON的方程為y＝kx，則直線OM的方程為y＝－x.由得所以|ON|2＝.同理|OM|2＝.設(shè)O到直線MN的距離為d，因?yàn)?|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，所以＝＋＝＝3，即d＝.綜上，O到直線MN的距離是定值．。上海)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1.(1)過C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積．(2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn)．若l與圓x2＋y2＝1相切，求證：OP⊥OQ.(3)設(shè)橢圓C2：4x2＋y2＝、N分別是CC2上的動(dòng)點(diǎn)，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值．(1)解 雙曲線C1：－y2＝1，左頂點(diǎn)A，漸近線方程：y＝177。＝＝＝＝，由此得＝3，選C.4．(2011.設(shè)線段PQ的中點(diǎn)N(1，n)，∴kPQ＝＝－，∴線段PQ的垂直平分線方程為y－n＝2n(x－1)，∴(2x－1)n－y＝0，該直線恒過一個(gè)定點(diǎn)A(，0)．當(dāng)x1＝x2時(shí)，線段PQ的中垂線也過定點(diǎn)A(，0)．綜上，線段PQ的垂直平分線恒過定點(diǎn)A(，0)．(2)解 由于點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，故點(diǎn)B(－，0)．∵－2≤x1≤2，－2≤x2≤2，∴x1＝2－x2∈[0,2]，|PB|2＝(x1＋)2＋y＝(x1＋1)2＋≥，∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，177。4(0,2)＝2y，由已知得＝2y＋2，化簡(jiǎn)得曲線C的方程：x2＝4y.(2)假設(shè)存在點(diǎn)P(0，t)(t0)滿足條件，則直線PA的方程是y＝x＋t，PB的方程是y＝x＋t.曲線C在Q處的切線l的方程是y＝x－，它與y軸的交點(diǎn)為F.由于－2x02，因此－11.①當(dāng)－1t0時(shí)，－1－，存在x0∈(－2,2)，使得＝，即l與直線PA平行，故當(dāng)－1t0時(shí)不符合題意．②當(dāng)t≤－1時(shí)，≤－1，≥1，所以l與直線PA，PB一定相交．分別聯(lián)立方程組解得D，E的橫坐標(biāo)分別是xD＝，xE＝，則xE－xD＝(1－t).又|FP|＝－－t，有S△PDE＝2?[－4，4]，所以符合題意的直線l不存在．方法二 (1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(ab0)，且有從而a2＝16.所以橢圓C的方程為＋＝1.(2)
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