【正文】 3 2 ）中令 ，并將以上兩式代入，得26 6 3 3( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( )2( ) ( )i i i i i iiitm u t u t u t c u t u t u tt t ttk u t P t?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ?（ ） .1將上式整理后，可得與式（4 3 9 ）相同的方程( ) ( )iiK u t P t? ? ? （ ） 式中236=K k c mt t??? ?（ ） 6( ) ( ) ( ) 3 ( ) 2 3 ( ) + ( )2i i i i i iktP t P t m u t u t c u t u tt?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?（ ） +1.1 ( ) .1.1.1 =iiiuti t t t???有式（4 50）求出位移增量 后，代入式（4 47）和式（4 48），便可求出速度增量和加速度增量，然后，便可按式（4 33）求出 時(shí)段末 的動(dòng)力反應(yīng)值。對(duì) 于 多 自 由 度 體 系 ， 只 需 將 參 數(shù) 和 改 寫 成 矩 陣 或向 量 的 形 式 即 可（ ） （ ） 00 ( 0 ) , ( 0 )u u u u??對(duì) 于 初 始 條 件 為 的 單 質(zhì) 點(diǎn) 振 動(dòng) 方 程 ， 中 心差 分 法 的 具 體 迭 代 步 驟 為 ：0 0 0 01 ( ) ,u P c u k um? ? ?1 ） 計(jì) 算 基 本 數(shù) 據(jù) 和 初 始 條 件21 0 0 02tu u tu u??? ? ? ?12 ) . 1iitt ?根 據(jù) 及 以 前 時(shí) 刻 的 運(yùn) 動(dòng) ， 利 用 式 （ 4 2 7 ） 計(jì) 算 時(shí) 刻 的1iu ?位 移 。N e w ma r kWi l s o n???????????????分段解析法中心差分法平均加速度法逐步積分法線性加速度法法法N e w m a rk W ilso n?????????????????顯式方法：在每一步內(nèi)計(jì)算新的反應(yīng)值僅僅依賴于前面步驟已經(jīng) 獲得的量。1 2 34 . 1 0 1 , 1 ,m m m k? ? ? ?例 已知 樓層側(cè)移剛度均為 利用子空間迭代法求前兩階振型。解：11, , ,X M K ??由于已知 ， ，故有? ?112550 0 0 0. 6870= 0. 6870 462 0 2540 0 4620 0 560 TX MX? ? ? ???????????? ? ? ?= 4 0 3 7 .6 0? ?110. 68 70 25 50 0 0= 46 2 0. 68 70 46 2 00 0 25 40 0 00 0 0 56 0TX X M? ? ? ??? ?????? ??? ? ? ?3 03 5 51 1 84 7= 57 6 74 0 29 9 10 51 9 03 3 60 0???? ???311 03 5 51 1 84 71 57 6 74 0 29 9 10 / 40 37 .601 51 9 03 3 60 0S? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0 .7 0 1 9 0 .4 0 8 9 0 .0 9 5 30 .4 1 0 5 0 .4 3 6 8 0 .1 3 1 20 .4 3 3 9 0 .5 9 5 2 0 .8 6 1 3??????? ? ?????511 133 716 308 133 562 463 10 133 562 900S?? ?????? ? ???0. 70 19 0. 40 89 0. 09 530. 41 05 0. 43 68 0. 13 120. 43 39 0. 59 52 0. 86 13??????? ? ?????3 28 4 91 2 73 1 95 4 68 3 08 1 10 90 7 36 8 78 0???????? ? ? ?????? ?021= ??設(shè)二階振型的初始近似值為 ，再按例 的矩陣迭代法進(jìn)行迭代，其中 取 。所以一階振型的近似解為? ?1 0. 687 0 462 00 TX ??.1故按式（4 1 2 ），有50. 6870 133 716 308 0. 6870 462 = 133 562 463 10 462 133 562 900 ??? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?21注意到上式為3個(gè) 獨(dú)立的方程，可按其中任一式求解，如按第3個(gè) 方程，則有? ? 51 . 0 = 4 6 9 . 6 1 3 3 0 . 6 8 7 0 +7 4 9 . 0 5 6 2 0 . 9 4 6 2 + 2 3 3 . 1 9 0 1 1 0? ?? ? ? ? ?21故得1 = 9 /rad s?1( 2 ).1 X下面證明用迭代法求出的頻率和振型就是體系第一頻率及相應(yīng)的振型由式（4 14）可 知：經(jīng)過(guò)兩次迭代后，振型向量 （下標(biāo)表示迭代次數(shù)）為1 1 0 0( 2 ) ( 1 )==X X X X? ? ? ? 2（ ）=k同理，通過(guò) 次迭代后1 1 0 0() = kkkX X X? ? ??（ ）=0 iXX由于所假定的 可表示為體系真實(shí)振型向量 的線性組合0 1 1 2 2= nnX X X X? ? ?? ? ??? ?ii Xi?式中， 為常數(shù)， 為體系的第階振型。4 . 7 . 1R it z例 利用 法求等截面懸臂梁的自振頻率（圖4 4 ）解：設(shè)近似振型為2212( ) 1 1x x xY x a al l l? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?.1 i j i jkm利用式（4 0 6 ）求得常數(shù) 與 如下：? ? ? ?3333425 3 0,243 0 1 0 5E I E I m l m lllKME I E I m l m lll?? ????? ???? ???? ?????????2233223342 5 30=024 30 105EI m l EI m lllEI m l EI m lll????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 2 4 2 2 3 20 . 7 9 4 9 7 2 1 2 0 0 0 ( ) 0m l E I m l E I l?? ??即方程的根為1 442 44= 5 ( 16 )= 1 ( 35 )EI EIm l m lEI EIm l m l??精確值為 ；精確值為故頻率方程為2?為了改善 的計(jì)算精度，可采用以下四個(gè)函數(shù)：1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y x a y x a y x a y x a y x? ? ? ?221 2 324( ) = 1 ( ) 1 ( ) 0 . 5 1 ( ) 0 . 7 5 0 . 2 5 1 x x x x x xy x y x y xl l l l l lx x x xyxl l l l? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2其 中 ， ， ，12 442 = 3 . 5 1 6 = 2 2 . 1 5 9E I E Im l m l??同理，求得結(jié)構(gòu)的前階頻率分別為 ，可見(jiàn)，如要得到更精確的值更好在假設(shè)振型的級(jí)數(shù)中取更多一些項(xiàng)。解：()Yx（1 ）假設(shè)等截面簡(jiǎn)支梁的一階振型曲線 為一拋物線24( ) = ( )axY x l xl ?0 ( 0 ) = 0 ( ) = 0x Y x l Y l??當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，可見(jiàn)此拋物線滿足邊界條件，又有2228d Y adx l??4 .9 8由式（ ）得? ?2223202 02 220 208( ) ( ) 64= = =8 1 54( ) ( )()llllaE I d xE I x Y x d xE I a llm a laxm x Y x d xm l x d xl???????????????????? ?21 0 . 9 5= EIlm?所以，( 2 ) ( ) ,q Y x取均布荷載 作用下的繞度曲線為振型曲線 則4 3 3( ) ( 3 )24qY x x l x lxEI? ? ?222502224 3 3 90( 1 2 1 2 )12024=31( 3 )2 4 2 4 6 3 0llqE I x lx d xq l E IEIqqm x l x lx d x m lE I E I???????? ?? ? ? ??? ????? ? ? ???4 .9 8由式（ ）得故有2 7= EIlm?( 3 ) 設(shè)形狀函數(shù)為正旋曲線，即( ) s i n xY x a l???? ????29 . 8 6 9 64 . 9 8 EIlm? ?代入式（ ），同理可得2= 9 .8 6 9 6 E I m l?由此可見(jiàn)，由于正弦曲線是第一主振型的精確解，因此由求得的頻率（ ）是第一頻率的精確解。1 2 3. 4 . 1 , k e r3mlm m m D u m l e y? ? ?例4 對(duì)于圖4 0 所示的簡(jiǎn)支梁，如果 試用 公式求體系的基頻。如果荷載 是簡(jiǎn)諧荷載或其他周期荷載，則每一個(gè)方程均可按單自由度體系的方法求解；如果荷載為其他一般性荷載，則方程可利用Du h a m e l 積分進(jìn)行求解。21 1 122 2 2=2=2? ? ? ? ?? ? ? ? ??????（ ） 1 2 1 2 2 1 2 2 1 12 2 2 22 1 2 1==? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?2 （ ） 2 ( ），（ ） 12jjj?? ? ??????????（ ） 阻尼比. C a u g h e y2 阻尼.6C a u g h e y R a y le ig h R a y le ig hR a y le ig hR a y le ig h??阻尼又稱擴(kuò)展的 阻尼。.5由于方程組（4 6 ）還可以寫成：1 1 2 2= j j n nu Xq X q X q X q X q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） TiXM將上式兩端同時(shí)左乘 ，得1 1 2 2T T T T Ti i i i j j i n nX M u X M X q X M X q X M X q X M X q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） i iX M X q由于振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交性，上式右邊只有 這一項(xiàng)不為 其他項(xiàng)均為0 ，故得：TTi i i iX M u X M X q? （ ） TTiii Ti i iX M u X M uqtX M X M?（）=（ ） iq t u t上式即為廣義坐標(biāo)（）與實(shí)際位移（）之間的關(guān)系。. 3 . 14 坐標(biāo)的耦聯(lián)與正則坐標(biāo)1 2 1 2u u u u通過(guò)前面給出的兩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程知：由于方程組的未知數(shù)（坐標(biāo)）和 是耦聯(lián)的，也就是說(shuō)必須聯(lián)立求解才能得到 和 的解，這種方程稱為坐標(biāo)耦聯(lián)。（ ） 關(guān)于阻尼矩陣卻不滿足正交條件，因此在一般情況下，只能得到關(guān)于振型坐標(biāo)的一組相互耦聯(lián)的微分方程。因此，可采用如下阻尼。 0 ,0)TTYYPtPtt????? ? ??如圖4 ，已知結(jié)構(gòu)的兩個(gè)自振圓頻率分別為 、 ，結(jié)構(gòu)的第一主振型與第二主振型分別為 、試求結(jié)構(gòu)在突加載荷當(dāng)當(dāng) 作用下的位移和彎矩。.8解：按式（4 7 ），有32 2 21111 1 1= + 2 2 . 1 3 1 05 . 1 6ni i iim