【正文】 重復(fù)上述迭代過程，便可求出整個(gè)時(shí)間范圍的全部振動(dòng)反應(yīng)。3 ） 重 復(fù) 上 述 計(jì) 算 步 驟 可 得 體 系 在 整 個(gè) 時(shí) 間 段 的 動(dòng) 力 反 應(yīng) 。 中心差分法等 隱式方法：在每一步長(zhǎng)給出新值的表達(dá)式中包含了與本步有關(guān)的 一個(gè)或多個(gè)值，所以，必須假定所需要的試驗(yàn)值，然 后反復(fù)迭代才能求出下一步的初始值。12 1 0 1 0 0 1 1 11 2 1 0 1 0 = 1 2 20 1 1 0 0 1 1 2 3K M K M? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?解： ， ，則取前兩階振型的初始近似值為01 5 5 5 1= = = = 1 5 5T? ? ????? ???????? ????00 ，利用1 5 1= 0 7 0 3???????????歸一化后，有 ，求解廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣1 1 1 1 1 . 8 3 3 6 0 . 6 5 0 1()0 . 6 5 0 1 1 . 5 5 5 6TMm ?? ????????1 1 1 1 0 . 3 6 5 0 . 1 3 3()0 . 1 3 3 2 . 1 1 1TKk ?? ????????11. 4 4 . 2 8 4 2 +0 . 7 5 2 8 = 0KM ???242若（ ）Z = 0 有非零解，則有2 4 3 6121 2 12 1 2= 0 .1 9 7 = 1 .5 5 50 .0 0 0 2 。? ? ? ? 22 0 . 9 8 0 . 4 9 1 . 0 0 , 2 7 . 2 0 /TX r a d s?? ? ? ?結(jié)果有 子空間迭代法子空間迭代法也稱平行迭代法。21( , )i i i iiX X i i? ? ? ???所以，根據(jù) 表示第階振型 有0 1 1 2 2= nnX X X X? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ?1 1 1 2 2 2= n n nX X X? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?同理可得0 1 1 1 2 2 2=k k k kn n nX X X X? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ?1k?上式兩端同除以 ，有0 21 1 2 21111 = kkk nnnk X X X X??? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1 2 1 21000nnkik? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??因?yàn)?，即 ，也就是說：當(dāng) 充分大時(shí)， ，所以有10( ) 1 1 1kkkX X X? ? ???0111kkk X X???可見，經(jīng)過 次迭代后， 與第一振型的精確解 僅差常數(shù)項(xiàng) ，而每次迭代后所作的歸一化處理又可以消除常數(shù)項(xiàng)的影響，故多次迭代后1( ) 1kXX?112=0= = 0i???振型迭代法不僅可以求解體系的基頻和一階振型，也能用來確定高階頻率和相應(yīng)的振型。4 .4 .4 矩陣迭代法Sto do la矩陣迭代法又稱 法或冪法，它是采用逐步逼近的計(jì)算方法來確定結(jié)構(gòu)的頻率和振型，它適用于求出結(jié)構(gòu)的前幾階振型和頻率。另外，所選的前兩種曲線，因?yàn)榇蟛糠只蛉繚M足邊界條件，因此所得結(jié)果誤差較小，但均比精確值大，這時(shí)能量法的一個(gè)特點(diǎn)，因?yàn)榧俣ǖ那€并非真實(shí)的振型曲線，即相當(dāng)于給結(jié)構(gòu)增加了某些多余約束，從而增大了體系的剛度，因此所得的頻率將偏大。3325 81= = , ,388 8 388 8llE I E I? ? ? ?11 33 22解:按 圖乘法求得體系的柔度系數(shù) 代入公式（ ），有33211 25 812+38 88 3 38 88 3l m l l m lE I E I?? ? ? ?229 . 4 5 9 . 8 6, 4 . 1 5 %E I E Il m l m????11解之，得 較精確解 的誤差為 。.5( 0) ( 0) 0 , .7q q D uh am e l??如果方程（4 4） 的初始位移與初始速度均為0， 即u( 0) =u (0 )= 0,則可以推得 根據(jù) 積分方程，（4 5） 的解：()01( ) ( ) s i n ( )jjt tj j jjjq t P e t dM ? ? ?? ? ? ?? ??? ???? ? （ ） 2= 1 j j j? ? ??式中，.5.7如果方程（4 4 ）的初始位移與初始速度不為0 ，則應(yīng)將由初始條件引起的振動(dòng)疊加到式（4 6 ）中，即有：( 0) ( 0)( ) ( 0) c os si njj t jjj j j jjqqq t e q t t???????? ?? ????? ????()01 ( ) s i n ( )jjt tjjjjP e t dM? ? ?? ? ? ????? ???? ?（ ） ( 0 ) ( 0 ) . 6qq對(duì)于初始條件 和 ，可以式（4 0 ）求得：( 0) ( 0)( 0) = , ( 0) =TTiiiiiiX M u X M uqqMM（ ） （ ） 1niiiu X q X q??? ?上述求解方法是將運(yùn)動(dòng)方程的解用振型的線性疊加來表示，稱振型疊加法。通過對(duì)上述 阻尼的簡(jiǎn)介可知：比例常數(shù) ， 是由第一、二頻率和阻尼比來確定的，而更高階的阻尼比則由式（4 4 ）來確定。4 . 3 . 2 阻尼假設(shè)ijiuj u C對(duì)于粘滯阻尼，假定阻尼力的大小與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度成正比，而阻尼力的方向與速度相反。多自由度有阻尼體系的受迫振動(dòng) 多自由度有阻尼受迫振動(dòng)微分方程組：? ?()M u C u K u P t? ? ?（ ） Ne wm a rkW ilso n ???????????直接積分法：就是按照時(shí)間歷程對(duì)上述微分方程直 接進(jìn)行數(shù)值積分，即數(shù)值解法，常用方程的解法 的數(shù)值解法由中心差分法、 法 和 法 振型（模態(tài)）疊加法為了說明振型疊加法，先就以下幾個(gè)概念加以說明。在多自由度體系中，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，作用在質(zhì)點(diǎn)上的阻尼力，除了受該點(diǎn)振動(dòng)速度 影響外，還要受到其他質(zhì)點(diǎn) 振動(dòng)速度 的影響，所以多自由度體系的阻尼矩陣 為：11 12 121 22 21212nni i ij inn n nnc c cc c cCc c c cc c c????????????????????ijC j i式中， 為 質(zhì)點(diǎn)單位速度對(duì)質(zhì)點(diǎn) 所產(chǎn)生的阻尼力。也就是說， 阻尼僅可能在兩個(gè)頻率點(diǎn)上滿足等于給定的阻尼比，而更高階的阻尼比一般并不和實(shí)測(cè)結(jié)果一致，并且所取得的振型階數(shù)越高，誤差愈大，這就是 阻尼的不足之處。振型疊加法思路：相互耦聯(lián)的微分方程 求解n 個(gè)相互獨(dú)立的微分方程.3例4? ? ? ?? ? ? ?121211.91 , 11 , 1 ,()( , 0 。12 4 41.5 .1 592 00 , 500 00 ,= 3 10 / , 10 / ,= 6 200 00m N m Nm k N m k NmN????? ? ?11 221例4如圖4 1所 示，已知不等高單層廠房柔度系數(shù) 另外，已經(jīng)求出此廠房的基頻 （1 s), 如果廠房的質(zhì)量 增加了 ，試估計(jì)質(zhì)量變化后廠房的基頻。4 .4 .3 R itz 法用能量法求體系的第一頻率，精確度取決于假設(shè)振型的精確程度，并且只能求得振動(dòng)基頻的上限（比真實(shí)值大）。對(duì) 于 多 自 由 度 體 系 其 自 由 振 動(dòng) 方 程 可 表 示 為2K X M X??（ ） 121 K??上式兩端同時(shí)左乘121 X K M X???（ ） 121== KM????令 ， ，上式為XX??? （ ） 0X現(xiàn)假定 是第一振型的第一次近似解，并進(jìn)行了歸一化處理（即其中某一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，通常為第一個(gè)或第n個(gè)的振幅為1 ），代入上式左邊，并令10XX??（ ） 0X如果 是第一振型的真實(shí)解，則必有10XX??（ ） 如果不滿足上式，再令01=XX（ ） 重復(fù)此迭代過程，直到相鄰兩次的迭代結(jié)果相近。但是要做到這一點(diǎn)，必須對(duì)假定的迭代向量做適當(dāng)?shù)奶幚?，即為了確定第二振型，必須在假定的迭代向量中消除第一振型的影響；在確定第三振型時(shí)，則消除第一和第二振型的影響，以此類推。R it z實(shí)質(zhì)就是對(duì)一組試驗(yàn)向量反復(fù)的使用 法和矩陣迭代法。= 0 .3 5 1ZZZZ??????22解得：，對(duì)于 ，有：對(duì)于 ，有：1 51 Z???? ?????故有110 .4 4 9 8 0 .8 4 2 1= = 0 .7 9 9 9 0 .3 8 5 91 .0 0 .6 8 4 3Z???????? ???1因此，第一近似的一、二階振型為,0 .4 4 9 8 1 .0= = 0 .7 9 9 9 0 .4 5 8 31 .0 0 .8 1 2 6??????????1歸一化后 有220 .4 4 5 5 10 .8 0 2 0 .4 5 1 31 .0 0 0 .8 0 7 2?????????? ? ??????11再對(duì) 左乘算子 得作廣義質(zhì)量振型和廣義剛度矩陣的第二近似為2 2 22 2 21 .8 4 1 7 0 . 0 0 0 2()0 . 0 0 0 2 1 .8 5 5 30 .3 6 4 7 0 .0 0 0 7()0 .0 0 0 7 2 .8 8 4 9TTMmKk???????? ???????? ????22R i t z K M? 2再次歸結(jié)為 特征值問題。 法、 法110( ) ,NNttEt??? ? ??????????? ? ? ????收斂性，即當(dāng)積分步長(zhǎng) 時(shí)，數(shù)值 解是否收斂于精確解。11 ,t T T???以 上 的 計(jì) 算 公 式 具 有 2 階 精 度 ， 其 穩(wěn) 定 條 件 為為 體 系 的 最 小 自 振 周 期 。 ???這里應(yīng)指出：線性加速度法是一種有條件的穩(wěn)定數(shù)值積分方法，穩(wěn)定性條件為時(shí)間步長(zhǎng) 當(dāng)所取得時(shí)間步長(zhǎng)太大時(shí)，就可能出現(xiàn)不收斂的情況。.5 .3 4 線性加速度法4 . 1 6t? ????線性加速度法假定加速度在 內(nèi)按線性變化 如圖 （a ) 所示即有：1()( ) ( ) ( ) ( )ii i i i iutu t u t t t t t t t tt ??? ? ? ? ? ? ? ??（ ） 將上式積分一次，可得2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) +2iii i it t u tu t u t u t t tt??? ? ??（ ） [ 4 . 1 6 ]速度按二次拋物線圖 （b ）再積分一次，有23( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) + +26i i i ii i it t u t t t u tu t u t u t t tt? ? ?? ? ?（ ） 位移：三次曲線. 1 . 1 it t t? ? ?在式（4 4 3 ）和式（4 4 4 ）中，令 ，則有+1( ) = ( + ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 2i i i i i i itu t u t t u t u t u t u t t u t ?? ? ? ? ? ?（ ） 22( ) = ( ) + ( ) ( )26i i i ittu t u t t u t u t??? ? ? ?（ ） ( ) ( ) ( )i i iu t u t u t? ? ?為便于計(jì)算，將 ， 用 表示，故有266( ) = ( ) ( ) 3 ( )i i i iu t u t u t u ttt? ? ???（ ） 33( ) = ( ) ( ) ( )2i i i itu t u t u t u ttt?? ? ???（ ） .1 itt?現(xiàn)將式（4