【正文】 ?現(xiàn)將式（4 3 2 ）中令 ，并將以上兩式代入，得26 6 3 3( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( )2( ) ( )i i i i i iiitm u t u t u t c u t u t u tt t ttk u t P t?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ?（ ） .1將上式整理后，可得與式（4 3 9 ）相同的方程( ) ( )iiK u t P t? ? ? （ ） 式中236=K k c mt t??? ?（ ） 6( ) ( ) ( ) 3 ( ) 2 3 ( ) + ( )2i i i i i iktP t P t m u t u t c u t u tt?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?（ ） +1.1 ( ) .1.1.1 =iiiuti t t t???有式（4 50）求出位移增量 后，代入式（4 47）和式（4 48），便可求出速度增量和加速度增量，然后，便可按式（4 33）求出 時(shí)段末 的動(dòng)力反應(yīng)值。( ) . 1u ? 線性加速度法假定： 按線性規(guī)律變化（如圖47 ）。 ???這里應(yīng)指出：線性加速度法是一種有條件的穩(wěn)定數(shù)值積分方法，穩(wěn)定性條件為時(shí)間步長(zhǎng) 當(dāng)所取得時(shí)間步長(zhǎng)太大時(shí)，就可能出現(xiàn)不收斂的情況。對(duì)于多自由度體系，只需將以上各式中的相應(yīng)物理量改寫成矩陣或向量的形式即可。11 ,t T T???以 上 的 計(jì) 算 公 式 具 有 2 階 精 度 ， 其 穩(wěn) 定 條 件 為為 體 系 的 最 小 自 振 周 期 。. 5 . 14 中 心 差 分 法t處 ， 單 質(zhì) 點(diǎn) 的 震在 時(shí) 刻 動(dòng) 方 程 為( ) ( ) ( ) ( )m u t c u t k u t P t? ? ?（ ） 1i i ifbi i it t t tt u u?? ? ?如 果 采 用 等 時(shí) 間 步 長(zhǎng) （ = ） , 則 速 度 在 時(shí) 刻處 得 向 前 差 分 和 向 后 差 分 分 別 為11= , =fbi i i iiiu u u uuutt??????所 以 其 中 心 差 分 為1122fbi i i iiu u u uut???????同 理 ， 可 得 其 加 速 度 的 中 心 差 分 近 似 為1122i i iiu u uut??????（ ） （ ） （ ） . 1 . 1 . 1將 式 （ 4 2 4 ） 和 式 （ 4 2 5 ） 代 入 式 （ 4 2 2 ） 有1 1 1 122 +2i i i i iiiu u u u um c k u Ptt? ? ? ?? ? ? ????1 1 11i i i iit u u tu? ? ??如 果 已 知 時(shí) 刻 ， 以 前 的 位 移 ， ， 則 時(shí) 刻 的位 移 可 由 下 式 求 解 ：112 2 2222i i i im c m c mu P k u ut t t t t??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 . 1 . 1,itm c k P?而 時(shí) 刻 的 速 度 和 加 速 度 則 可 由 式 （ 4 2 4 ） 和 式 （ 4 2 5 ）求 得 。 法、 法110( ) ,NNttEt??? ? ??????????? ? ? ????收斂性，即當(dāng)積分步長(zhǎng) 時(shí)，數(shù)值 解是否收斂于精確解。但這兩種方法均是基于疊加原理，要求結(jié)構(gòu)體系是線彈性的，而且當(dāng)載荷沒有解析表示式（如地震荷載）或解析式太復(fù)雜時(shí)，疊加原理將不再適用，也就是說， 積分、 變換或振型疊加法此時(shí)失效，因此只能采用數(shù)值分析方法。= 0 .3 5 1ZZZZ??????22解得：，對(duì)于 ，有：對(duì)于 ，有：1 51 Z???? ?????故有110 .4 4 9 8 0 .8 4 2 1= = 0 .7 9 9 9 0 .3 8 5 91 .0 0 .6 8 4 3Z???????? ???1因此，第一近似的一、二階振型為,0 .4 4 9 8 1 .0= = 0 .7 9 9 9 0 .4 5 8 31 .0 0 .8 1 2 6??????????1歸一化后 有220 .4 4 5 5 10 .8 0 2 0 .4 5 1 31 .0 0 0 .8 0 7 2?????????? ? ??????11再對(duì) 左乘算子 得作廣義質(zhì)量振型和廣義剛度矩陣的第二近似為2 2 22 2 21 .8 4 1 7 0 . 0 0 0 2()0 . 0 0 0 2 1 .8 5 5 30 .3 6 4 7 0 .0 0 0 7()0 .0 0 0 7 2 .8 8 4 9TTMmKk???????? ???????? ????22R i t z K M? 2再次歸結(jié)為 特征值問題。1 2 1piipY Y Y XY???注意： 如果只對(duì) 維子空間向量進(jìn)行迭代而不進(jìn)行正交化處理，則， ， ， 最終都收斂于一階振型 ，所以，迭代過程中必須對(duì)其做質(zhì)量矩陣M 的正交化處理，使 逼近X 。R it z實(shí)質(zhì)就是對(duì)一組試驗(yàn)向量反復(fù)的使用 法和矩陣迭代法。也就是說，用矩陣迭代法求體系的第一頻率時(shí)可按式（4 1 3 ）（4 1 6 ）的過程進(jìn)行；而高階頻率時(shí)，則用 代替式（4 13） 中的 ，然后進(jìn)行矩陣迭代即可。但是要做到這一點(diǎn)，必須對(duì)假定的迭代向量做適當(dāng)?shù)奶幚恚礊榱舜_定第二振型，必須在假定的迭代向量中消除第一振型的影響；在確定第三振型時(shí)，則消除第一和第二振型的影響，以此類推。因此此時(shí)，所以要進(jìn)行第二次迭代。對(duì) 于 多 自 由 度 體 系 其 自 由 振 動(dòng) 方 程 可 表 示 為2K X M X??（ ） 121 K??上式兩端同時(shí)左乘121 X K M X???（ ） 121== KM????令 ， ，上式為XX??? （ ） 0X現(xiàn)假定 是第一振型的第一次近似解，并進(jìn)行了歸一化處理（即其中某一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，通常為第一個(gè)或第n個(gè)的振幅為1 ），代入上式左邊，并令10XX??（ ） 0X如果 是第一振型的真實(shí)解，則必有10XX??（ ） 如果不滿足上式，再令01=XX（ ） 重復(fù)此迭代過程，直到相鄰兩次的迭代結(jié)果相近。將上式代入（4 0 4 ），有? ? 21 1 2 2= ( ) ( ) ( )nnE I a y x a y x a y x d x?? ?? ??? ? ? ? ? ? ??12? ?221 1 2 20 ( ) ( ) ( ) ( )2lnnm x a y x a y x a y x dx? ? ? ? ? ? ??2, 1 , 1= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnj i i j j i i jj i j ia a E I y x y x d x a a m x y x y x d x????? ?? ?? ?????????12令00( ) ( ) , ( ) ( ) ( )llij i j ij i jk EI y x y x dx m m x y x y x dx?? ??????（ ） （ ） 得211= ( )nnij ij i jijk m a a???????120 , ( 1 , , ) ,iina?? ? ? ????應(yīng)用駐值條件 有21( ) 0 , ( 1 , , )ni j i j jjk m a i n??? ? ? ? ? ??（ ） 寫成矩陣形式為? ? ? ?2K M a??( ) = 0 （ ） .1矩陣中的各項(xiàng)按式（4 0 6 ）取值。4 .4 .3 R itz 法用能量法求體系的第一頻率，精確度取決于假設(shè)振型的精確程度，并且只能求得振動(dòng)基頻的上限（比真實(shí)值大）。由能量守恒可知。12 4 41.5 .1 592 00 , 500 00 ,= 3 10 / , 10 / ,= 6 200 00m N m Nm k N m k NmN????? ? ?11 221例4如圖4 1所 示，已知不等高單層廠房柔度系數(shù) 另外，已經(jīng)求出此廠房的基頻 （1 s), 如果廠房的質(zhì)量 增加了 ，試估計(jì)質(zhì)量變化后廠房的基頻。1 2 3211 ++m m m? ? ?? ? 1 1 2 2 3 3（ ） k e r k e rD u m l e y n D u m l e y它就是 給出的基頻計(jì)算公式，對(duì)于 個(gè)自由度體系公式的一般形式為2111 nii iim?? ?? ?（ ） 21ii i i ii iim m k????由于 ，所以上式又可寫成221111ni ii???? ?（ ） k e rk e riD u m le ym D u m le y????11動(dòng)力分析中常常要求在改變體系的質(zhì)量、剛度參數(shù)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的基頻做出迅速的估算， 公式對(duì)此可以方便的計(jì)算。振型疊加法思路：相互耦聯(lián)的微分方程 求解n 個(gè)相互獨(dú)立的微分方程.3例4? ? ? ?? ? ? ?121211.91 , 11 , 1 ,()( , 0 。.2例423= = = 0 .0 51 8 0 0 0 9 8 9 8 00 2 7 0 0 / , 9 8 2 9 4 1 9 6 1 0 / ,0 0 2 7 0 0 1 9 6 4 4 1M k N s m K k N m? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?1 2 3已知3 個(gè)自由度體系的前三階振型阻尼比 ，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為 試求阻尼矩陣。也就是說， 阻尼僅可能在兩個(gè)頻率點(diǎn)上滿足等于給定的阻尼比，而更高階的阻尼比一般并不和實(shí)測(cè)結(jié)果一致，并且所取得的振型階數(shù)越高，誤差愈大，這就是 阻尼的不足之處。即()T T T Tj i j i j i j iX C X X M K X X M X X K X? ? ? ?? ? ? ?20 ( )( ) ( )j j jijc m i j? ? ?????? ? ? ? ??（ ） jc j j?式中， 為第階振型的廣義阻尼系數(shù)。在多自由度體系中，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，作用在質(zhì)點(diǎn)上的阻尼力，除了受該點(diǎn)振動(dòng)速度 影響外，還要受到其他質(zhì)點(diǎn) 振動(dòng)速度 的影響，所以多自由度體系的阻尼矩陣 為：11 12 121 22 21212nni i ij inn n nnc c cc c cCc c c cc c c????????????????????ijC j i式中， 為 質(zhì)點(diǎn)單位速度對(duì)質(zhì)點(diǎn) 所產(chǎn)生的阻尼力。為此，引入廣義坐標(biāo)（獨(dú)立坐標(biāo)）的概念對(duì)微分方程組進(jìn)行耦聯(lián)。多自由度有阻尼體系的受迫振動(dòng) 多自由度有阻尼受迫振動(dòng)微分方程組：? ?()M u C u K u P t? ? ?（ ） Ne wm a rkW ilso n ???????????直接積分法：就是按照時(shí)間歷程對(duì)上述微分方程直 接進(jìn)行數(shù)值積分，即數(shù)值解法，常用方程的解法 的數(shù)值解法由中心差分法、 法 和 法 振型（模態(tài)）疊加法為了說明振型疊加法，先就以下幾個(gè)概念加以說明。因此，微分方程組耦聯(lián)的數(shù)目越少，方程的解法就越簡(jiǎn)單。4 . 3 . 2 阻尼假設(shè)ijiuj u C對(duì)于粘滯阻尼，假定阻尼力的大小與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度成正比，而阻尼力的方向與速度相反。.R a y le ig h1 阻尼=C M K??? （ ） ??式中， ， 為比例常數(shù)，這時(shí)，系統(tǒng)的各振型關(guān)于阻尼矩陣正交。通過對(duì)上述 阻尼的簡(jiǎn)介可知：比例常數(shù) ， 是由第一、二頻率和阻尼比來確定的，而更高階的阻尼比則由式（4 4 ）來確定。利用廣義正交性可以證明 阻尼矩陣滿足正交性，即 時(shí)，110( ) 0nT T mi i i m imX C X X M M K X???????（ ） = ji