【正文】 M u C u K u P t? ? ?（ ） 由此可見，()Pt實(shí)際上是n 個獨(dú)立的方程。從上式可以求出第階振型的阻尼比12jjj?? ? ??????????（ ） ??另外，如果已知體系的第一、二階頻率和相應(yīng)的阻尼比，則可以利用下式求出比例常數(shù) ， 。? ?12, , , , , ,iTjnXq q q q q q u? ? ? ? ? ? ?對于一個n自由度體系，如果已知體系的振型 ，并引入一組新的坐標(biāo) 使新的坐標(biāo) 與原物理坐標(biāo) 之間形成一種線性變換，即1niiiu X q X q??? ?（ ） 1niiiu X q X q??? ?（ ） 1 1 11 2 12 1 12 1 21 2 22 2 21 1 2 21 1 2 2j j n nj j n ni i i j ij n inn n n j nj n nnu q X q X q X q Xu q X q X q X q Xu q X q X q X q Xu q X q X q X q X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??（ ） i i jiu i X j iqi式中， 為質(zhì)點(diǎn)的位移坐標(biāo)，即微分方程組的解； 為質(zhì)點(diǎn) 在振型下的相對位移幅值； 為振型所對應(yīng)的廣義坐標(biāo)，又稱正則坐標(biāo)或振型坐標(biāo)。坐標(biāo)耦聯(lián)又可以分為剛度（靜力）耦聯(lián)，以及慣性（加速度或質(zhì)量）耦聯(lián)。為了便于方程組解耦，使振型關(guān)于阻尼矩陣正交，現(xiàn)介紹以下兩種多自由度體系中的阻尼假設(shè)。1110 1 20()nmmmC M K K M K M M K? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 0 1 2 1n Ca u g h e yij? ? ? ? ?????式中， ， ， ， ， 為n 個待定常數(shù)。解： .5（1 ）利用式（4 5 ）建立正則坐標(biāo)變換? ?11221111uqu Y q? ? ? ???? ? ????? ?? ???? ? ? ?( 2 )求廣義質(zhì)量.5由式（4 2 ）得? ?? ?1 1 12 2 2011 1 201011 1 201TTmM Y M Y mmmM Y M Y mm? ? ? ?? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ?( 3 )求廣義荷載? ?? ?11 1 112 2 1()( ) ( ) 1 1 ( )0()( ) ( ) 1 1 ( )0TTPtF T Y P t P tPtF T Y P t P t??? ? ???????? ? ? ?????( 4 )求正則坐標(biāo)4 . 7 6由式（ ），得1 1 111 01= ( ) s i n ( )tq P t dM ? ? ? ??? ??11 1 121 1 1 101 s i n ( ) ( 1 c o s )22t PP t d tmm ? ? ? ???? ? ? ??12222= ( 1 c o s )2 Pqtm ?? ?( 5 )求質(zhì)點(diǎn)位移根據(jù)坐標(biāo)變換，得1 1 2( ) 1 . 0 ( ) 1 . 0 ( )u t q t q t??1112221 1 2( 1 c o s ) ( 1 c o s )22PP ttmm ????? ? ? ?2 1 2( ) 1 . 0 ( ) 1 . 0 ( )u t q t q t??1112221 1 2( 1 c o s ) ( 1 c o s )22PP ttmm????? ? ? ?(6 )求彎矩()iQ t i t設(shè) 表示質(zhì)點(diǎn)在任意時刻 所受的荷載和慣性力之和，則有11 1 1 1 1 212 1 2 1 2( ) = ( ) ( c os c os )2( ) = ( ) 0 ( c os c os )2PQ t P m u t P t tPQ t P m u t t t????????12則質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn) 處截面的彎矩為：1 2 11 1 21 2 12 1 22 ( ) ( ) 1( ) ( 1 c o s ) ( 1 c o s )3 3 6 3( ) 2 ( ) 1( ) ( 1 c o s ) ( 1 c o s )3 3 6 3Q t Q t P llM t t tQ t Q t P llM t t t????? ??? ? ? ? ? ?????? ??? ? ? ? ? ?????4 . 4 動力特性的實(shí)用計算方法4 . 4 . 1 k e rD u m le y 公式k e rD u m le y在動力分析中對體系的基頻迅速做出估計是很重要的，所以，在此，先介紹估算第一頻率的 公式.以三個自由度體系為例，按柔度法建立的體系特征方程是 1 2 321 2 321 2 3 21101m m mm m mm m m? ? ??? ? ??? ? ??????????????????11 12 1321 22 2331 32 33（ ） 21ij? ?式中， 為體系的柔度系數(shù)。. 4 . 2 R a y l e i g h4 能量法m a xm a x00UW根據(jù)能量守恒定律，如果忽視體系在振動過程中的能量散失，例如不計阻尼作用，則在任何時刻，系統(tǒng)的位能與動能之和將保持一個常數(shù)。 法是建立在 變分原理基礎(chǔ)上的，是將變分問題轉(zhuǎn)換為求多個變量函數(shù)的極值問題。5.8255 0 0 0 14. 46 9. 03 00 254 0 0 , 9. 03 17. 26 8. 23 10 /0 0 560 0 8. 23 8. 23MKM t K k N m??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?例4 某 三個自由度體系，其質(zhì)量矩陣 和剛度矩陣 分別為試用矩陣迭代法解結(jié)構(gòu)的一階頻率和振型。所以用迭代法求體系第階頻率或振型的 具體方法如下：? ? TiiX X M將振型向量 的線性組合兩邊左乘 ，并利用振型的正交性，有0 11= + +T T T Ti i i i i n i nX M X X M X X M X X M X? ? ?? ??? ? ???= Ti i iX M X?故有0=Tii TiiX M XX M X?01rj j jjrXX ???? ?為了在假設(shè)的振型中消除前面的階振型分量，可取初始迭代向量為 ，將 代入，則有00 0 011==Trrjj j j rTjj jjX MXX X X X S XX MX???????1=Trjrj Tj jjXMS E XX MX??? ?式中， 為清型矩陣。子空間迭代法一次可求矩陣的前幾個最大的特征值及特征向量。= 0 . 0 0 0 21 .0 0 0 . 0 0 0 20 .0 6 0 6 1 .0 0ZZZZZ???????????????22解得，對于 ，有：對于 ，有：故有220 .3 8 4 9 1 .0= = 0 .7 7 4 6 5 0 .4 5 1 4 61 .0 4 8 9 2 0 .8 0 7Z???????? ???2因此，第二次近似的一、二階振型為12,0 .3 6 6 9 1 .0= = 0 .7 3 8 5 0 .4 5 1 41 .0 0 .8 0 6 9= 0 .1 9 8 = 1 .5 5 4 9??????????? ???222歸一化后 有由第二輪迭代得到的 ， 與真實(shí)解差別已經(jīng)很小了。計算精度，即截斷誤差與時間步長 的關(guān) 系，如果誤差 則稱為該方法具有N 階精度。. 5 . 24 平 均 常 加 速 度 法1( ) + ( + )4 . 1 5 ,i i i i itt u t t t t u t t????????考 慮 一 單 自 由 度 體 系 ， 假 定 在 內(nèi) 質(zhì) 點(diǎn) 加 速 度 為 常 數(shù) ， 它等 于 質(zhì) 點(diǎn) 在 時 刻 的 加 速 度 和 = 時 刻 的 加 速 度的 平 均 值 圖 （ a ） 即 有+1( ) + ( )( + ) =2iiiiu t u tu t t t?，（ ） 1.1ittt t t ??? ? ?故質(zhì)點(diǎn)的速度在 時段內(nèi)呈線性變化[ 圖4 5 （b ）] ，并且在 時刻的速度為1( ) ( )( ) = ( ) + ( ) = ( ) +2iii i i i iu t u tu t t u t u t t t t u t t??? ? ? ? ? ?，（ ） .1t?位移在 時段按拋物線變化[ 圖4 5 （c ）] ，并且在時段末的加速度為21( ) ( )( ) = ( ) + ( ) +4iii i iu t u tu t t u t u t t t??? ? ? ?（ ） .1 tt??對于式（4 2 2 ）的單質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程，在時刻 處，則有( ) ( ) ( ) ( )m u t t c u t k u t t P t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） .1 .2式（4 31 ）與式（4 2） 相減，可以得到增量形式表示的振動方程為( ) ( ) ( ) ( )m u t c u t k u t P t? ? ? ? ? ? ?（ ） 其中( ) = ( ) ( )( ) = ( ) ( )( ) = ( ) ( )( ) = ( ) ( )u t u t t u tu t u t t u tu t u t t u tP t P t t P t? ? ? ??? ? ? ??? ? ???? ? ??（ ） .1將速度按式（4 2 9 ）改寫成增量形式11( ) ( )= ( ) ( ) =2( ) ( )21( ) ( ) ( )2 2 2iii i iiii i iu t u tu u t t u t tu t u tu t t t u t t u t t???? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 同理，位移增量形式為2211= ( ) ( ) + ( )24i i iu u t t u t t u t t? ? ? ? ?（ ） .1由式（4 32 ）得( ) = ( ) ( )c k Pu t u t u tm m m?? ? ? ? ?（ ） .1由式（4 3 3 ）求得加速度增量244( ) = ( ) ( ) 2 ( )iiku t u t u t u ttt? ? ???（ ） .1并回代入式（4 3 4 ），有2= 2u u ut???（ ） . 1 . 1 . 1將式（4 3 7 ）和式（4 3 8 ）代入式（4 3 2 ），得( ) ( )iiK u t P t? ? ?（ ） 式中224=K k c mt t??? ?（ ） 4( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )i i i i ikP t P t m u t u t c u tt??? ? ? ? ? ??????（ ） .1 .1式（4 40 ）和式（4 41 ）分別稱為等效剛度和等效增量荷載。( ) . 1u ? 線性加速度法假定： 按線性規(guī)律變化（如圖47 ）。對于多自由度體系，只需將以上各式中的相應(yīng)物理量改寫成矩陣或向量的形式即可。. 5 . 14 中 心 差 分 法t處 ， 單 質(zhì) 點(diǎn) 的 震在 時 刻 動 方 程 為( ) ( ) ( ) ( )m u t c u t k u t P t? ? ?（ ） 1i i ifbi i it t t tt u u?? ? ?如 果 采 用 等 時 間 步 長 （ = ） , 則 速 度 在 時 刻處 得 向 前 差 分 和 向 后 差 分 分 別