[理學(xué)]6-8二重積分(存儲(chǔ)版)
【正文】 ?????dxexdxe x? ?? ?? 0 22dxe x??? ?? 0 2 dye y??? ?? 0 242I?20 )(2 dxe x? ?? ??42I?dxeI x? ???? ?? 2 .π? 當(dāng)積分區(qū)域由 直線 和 除圓以外的其它曲線 圍成時(shí)， 一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)積分區(qū)域?yàn)?圓形、扇形、環(huán)形區(qū)域， 選取 適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 對(duì)計(jì)算二重積分的計(jì)算是至關(guān)重要的 . 而被積函數(shù)中含有 項(xiàng)時(shí) , yxxyyx ,22 ?選擇坐標(biāo)系 選擇積分次序 二重積分計(jì)算過(guò)程 通常選擇在 直角坐標(biāo)系 下計(jì)算 . 下的計(jì)算方法往往比較簡(jiǎn)便 . 二重積分計(jì)算方法總結(jié)： 化為累次積分 計(jì)算累次積分 二重積分可在兩種坐標(biāo)系中的計(jì)算 . 采用 極坐標(biāo)系 四、二重積分的幾何應(yīng)用 由二重積分的幾何意義可知， ???Dσσ dx y D 利用二重積分的幾何意義可以求解 平面圖形的面積 ( 為平面圖形的面積值） σ表示成二重積分 可 成的平面區(qū)域 D的面積值， xOy平面上封閉曲線所圍 和 空間幾何體的體積 . 例 求由曲線 所圍成的區(qū)域的面積 . 44,2 2 ???? xyxy???Dσσ d? ? ???????? ????2 6 2d412 yyy263241222?????????????yyyy 解 x y 2 6 442 ?? xyxy ?? 2作出區(qū)域的圖形， 所求面積為 ?? ??? yy xy 2 44 2 6 2 dd.364? 解 2 利用定積分求面積， σ ?? ???????? ????2 6 2d412 yyy .364? (1)以連續(xù)曲面 為頂，有界閉區(qū)域D為底的曲頂柱體體積為 0),( ?? yxfz (2)由連續(xù)曲面 所圍成的幾何體的體積為 Dyxyxgzyxfz ??? ),(),(),(.d),(???DyxfV ?.d)],(),([?? ??DyxgyxfV ?z x y D),( yxfz ? ),( yxfz ?z x y ),( yxgz ?D 例 用二重積分計(jì)算由平面 和三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積 . 解 ?? ??Dyx σd)326(???????? ??? 30)31(202 d23)26( xyyxx? ???????? ?????? ???????? ?? 3022d3163112 xxx.6?x z y 由二重積分幾何意義知所求四面體體積為 ?? ? ??? )31(2030 d)326(dxyyxx? ?????? ?? 302d316 xx632 ?? yxy x 2 3 DD2x+3y+z=6 例 求橢圓拋物面 與平面 所圍成的立體體積 . 224 yxz ??? 0?z 考慮到圖形的對(duì)稱性 ， 20,40: 2 ????? xxyDyxyxVDdd)4(4 22?? ???yyxx x d)4(d4 20 40 222? ? ? ???xyyxy x d3144 2402032 ?? ?????? ???xx d)4(32 20232? ??x y z 解 只需計(jì)算第一卦限部分即可，
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