【正文】 ??Dyxyxf dd),( .dd)s i n,c o s(???Drrrrf θθθ 二次積分 . 則 例 1 計(jì)算 其中 解 ,200:???????πθarD 故 ,dd)( 22?? ??Dyx yxe.: 222 ayxD ???? ??Dr rre θdd2?? ??Dyx yxe dd)( 22).1( 2ae ??? π 注 ：由于 的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無(wú)法用直角坐標(biāo)計(jì)算 . 2xe?x y o ? ? ?? π θ2 0 0 dd 2a r rre θπ d210202 are? ?????? ?? ?在極坐標(biāo)系下 例 2 計(jì)算二重積分 其中區(qū)域 D為由 x=0及 x2+y2=2y 圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域 . ，?? ?Dyxyx dd22解 D的邊界曲線為 x2+y2=2y， 此時(shí) D可以表示為 ,s in2 θ?r ，θθ s i n20 ,2π0 ???? r?? ?Dyxyx dd22所以?? 2π0s i n203 d31 θθr ?? 2π03 ds i n38 θθ? ??? 2π02 c osd)c os1(38 θθ2π03 c o sc o s3138?????? ?? θθx y o 其極坐標(biāo)表達(dá)式 ??? θ rrθ s i n20 22π0 dd.916??? ??Dθr d r dr?? ?Dyxyx dd22 ? ? ? ?? 2020222yy dxyxdy例 3 計(jì)算積分 .dds i n2222 π4π22??????yxyxyx積分域是圓環(huán)， .2,20 πππθ ???? r??????2222 π4π22 dds i nyxyxyx]dc o sc o s[2 π2ππ2π ???? rrrrπx y o ??? π2ππ20 ds i nd rrrθ解 D： .6 2π?????????2222 π4πd r ds i nyxθrr例 4 計(jì)算 d x d yyxD)(22?? ?，其 D 為由圓 yyx 222 ?? ， yyx 422 ?? 及直線 yx 3? 0? ， 03 ?? xy 所圍成的平面閉區(qū)域 . 解 32πθ ??61πθ ???s i n4?? rd x d yyxD)( 22?? ? ? ??? ????? 36s i n4s i n22 r d rrd ).32(15 ???yyx 422 ??03 ?? yx03 ?? xyθr s in2??yyx 222 ??故 例 5 計(jì)算 , 其中 D是由不等式 所確定的區(qū)域 . ??Dy σd0,0222 ???? xyxyx 及,422 ?? yx解 極點(diǎn)在區(qū)域 D的邊界曲線上 . 曲線 的極坐標(biāo)方程為 xyx 222 ?? ,c o s2 θ?r曲線 的極坐標(biāo)方程為 422 ?? yx，2c o s2 ?? rθ因此 ,2π0 ?? θ又? ??? ? 2π02c o s22 ds i ndd???? rryD所以.2 d)c os1(s i n38 2π03 ??? ? θθθx y o θcos2?rr =2. 2?r解 因?yàn)楸环e函數(shù)為偶函數(shù) , 例 6 求廣義積