[理學(xué)]6-8二重積分(已修改)
2025-01-31 14:35 本頁(yè)面
【正文】 返回 一、二重積分的概念與性質(zhì) 二、二重積分在直角坐標(biāo)系中計(jì)算 三、二重積分在極坐標(biāo)系中的計(jì)算 四、二重積分的幾何應(yīng)用 第八節(jié) 二重積分 二重積分的計(jì)算 （一 )二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算 在直角坐標(biāo)系二重積分 的計(jì)算 化二重積分為二次積分或累次積分 把二重積分化為二次積分的關(guān)鍵： （ 1）選擇積分次序 （ 2）確定定積分的上、下限 ??Dd xd yyxf ),( 根據(jù) 積分區(qū)域 D的圖形 和 被積函數(shù) f(x,y)的特點(diǎn) 從左端點(diǎn) a值到右端點(diǎn) b值 . 累次 積分中積分限的確定方法 y x a b )(2 xyy ?)(1 xyy ?y x )(2 yxx ? )(1 yxx ?d c 區(qū)域 D為 X型區(qū)域 區(qū)域 D為 Y型區(qū)域 從穿入的邊界方程 作為下限，穿出的邊界方程 作為上限 . )(1 xy)(2 xy第二次積分 : 第一次積分 : 從左端點(diǎn) c值到右端點(diǎn) d值 . 從穿入的邊界方程 作為下限，穿出的邊界方程 作為上限 . )(1 yx)(2 yx第二次積分 : 第一次積分 : ?? )( )(21 d),(d xy xyba yyxfx?? ba xS ( x ) ] dy( x )[y 12?? )( )(21 )d),(d( yx yxdc xyxfy?? dcS ( y ) ] d yx( y )[x 12X型積分 Y型積分 在計(jì)算二重積分時(shí) ， 甚至是積分區(qū)域 D造成的困難是主要的 。 有時(shí) 而且還在于 積分區(qū)域 D, 求積分的困難不僅在于 ),( yxfy ?),( yxfy ?例 計(jì)算 其中 ,dd)( 22?? ??Dyx yxe.: 222 ayxD ??x y o ? ? dxe x 2 ? ? dye y2或? ? dxxe x 2因此 ,針對(duì)不同形狀的積分區(qū)域 D以及被積函數(shù) 的特點(diǎn) , 選擇 不同的坐標(biāo)系 來(lái)計(jì)算二重積分是一個(gè)很重要的問(wèn)題 . ? ? dyye y 2或被積函數(shù) 一般地 ,當(dāng)二重積分的積分區(qū)域 D的邊界 通常采用極坐標(biāo)變換 ,就可使二重積分的計(jì)算 或被積函數(shù)用極坐標(biāo)表示更加方便 扇形 等 ） ),( 22 yxf ?（如 被積函數(shù) 為 等時(shí)， 大大得以簡(jiǎn)化。 ),(xyf )( yxf曲線(xiàn)用極坐標(biāo)表示更加簡(jiǎn)單 （ 如 D為圓形、環(huán)形、 極軸 X 極點(diǎn) O ?r ),( ?? r極坐標(biāo)x y 變換公式與直角坐標(biāo)極坐標(biāo) ),(),( yxr ?如果選取以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) O為極點(diǎn)， 以 x軸為極軸， 之間與直角坐標(biāo)坐標(biāo)則平面上任意一點(diǎn)的極 ),(),( yxr ?的變換公式為原點(diǎn) O x軸 ??? ? ?c osrxθry s in?用以極點(diǎn) O為中心的 一族同心圓 , AoD 設(shè)過(guò)極點(diǎn) O的射線(xiàn)與積分區(qū)域 D的邊界曲線(xiàn)的交點(diǎn) 不多于兩點(diǎn)， .),( 上連續(xù)在函數(shù) Dyxf把區(qū)域 D分成 n個(gè)小區(qū)域， 在極坐標(biāo)系下， 以及從極點(diǎn) 出發(fā)的 一族射線(xiàn) , 在直角坐標(biāo)系下 ??Ddyxf ?),( ???Ddx dyyxf ),(在極坐標(biāo)系下 ??Ddyxf ?),(如何表示？ 極坐標(biāo)系下的面積微元 ?如何表示σdAoD??rr?rrr ??? ??? ????????? ????????? 22 21)(21 rrr?? ?????? 2)(21 rrr域?yàn)槠渲幸粋€(gè)典型小閉區(qū)設(shè) ?? 同時(shí)也表示該??(),小閉區(qū)域的面積 的同心圓和它由半徑分別為 rrr ??的射線(xiàn)所確定，
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