[理學(xué)]三重積分的應(yīng)用(已修改)
2025-01-31 14:44 本頁(yè)面
【正文】 一、三重積分的定義 二、三重積分的計(jì)算 三、小結(jié) 第三節(jié) 三重積分的 計(jì)算 設(shè) ),( zyxf 是空間有界閉區(qū)域 ? 上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域 ? 任意分成 n 個(gè)小閉區(qū)域1v? ，2v? , ,?nv? ，其中iv? 表示第 i 個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積 , 在每個(gè)iv? 上任取一點(diǎn) ),(iii???作乘積iiiivf ??),( ??? ， ),2,1( ni ?? ，并作和 ,如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 ? 趨近于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),( zyxf 在閉區(qū)域 ? 上的 三重積分 ，記為????dvzyxf ),( ,一、三重積分的定義 即 ????dvzyxf ),( iiinii vf ?? ???),(lim10????..叫做體積元素其中 dv,?的平面來(lái)劃分用平行于坐標(biāo)面在直角坐標(biāo)系中，如果.lkji zyxv ?????則三重積記為 ????d x d y d zzyxf ),( iiinii vf ?? ???),(l i m10????..積元素叫做直角坐標(biāo)系中的體其中 dxd y dz直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分． 二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分 xyzo?D1z2z 2S1S ),(1 yxzz ?),(2 yxzz ?ab)(1 xyy?)(2 xyy?),( yx如圖， ),(:),(:2211yxzzSyxzzS??,),( 作直線過(guò)點(diǎn) Dyx ?穿出．穿入，從從 21 zz1. 坐標(biāo)面投影法 (先一后二 ). ,xoyD?閉區(qū)域 在面上的投影為閉區(qū)域函數(shù)，則的只看作看作定值，將先將 zzyxfyx ),(,?? ),( ),(21 ),(),( yxz yxz dzzyxfyxF( , )F x y D計(jì)算 在閉域 上的二重積分.]),([),( ),( ),(21?? ????DyxzyxzD ddzzyxfdyxF ??,),()(: 21 bxaxyyxyD ????? 得 ?????dvzyxf ),(.),()( )( ),( ),(2121? ? ?baxyxyyxzyxz dzzyxfdydx21()()( , ) ( , ) .b y xa y xDF x y d d x F x y d y????? ? ?從而： 注意 .yzxS??? 1. 以上是平行于 軸且穿過(guò)閉區(qū)域 內(nèi)部的直線與閉區(qū)域 的閉區(qū)邊界曲面 相交域稱為不多于兩型點(diǎn)情形．此時(shí)空間區(qū)域，xyzo?D1z2z 2S1S ),(1 yxzz ?),(2 yxzz ?ab)(1 xyy?)(2 xyy?),( yx.xyy z xzy z xz???2. 若平行于 軸或 軸的任何直線與區(qū)域 的邊界曲面的交點(diǎn)不多于兩個(gè)，類(lèi)似地，可把 投影到 面或 面，進(jìn)而把相應(yīng)的三重積分化為三次積分。此時(shí) 稱為 型或 型空間區(qū)域，?3. 若平行于坐標(biāo)軸的直線與邊界曲面的交點(diǎn)多于兩個(gè)時(shí)，也可與二重積分一樣，把 分割成若干個(gè)部分，然后再化為以上的情形。例 1 化三重積分 ????? d x d y d zzyxfI ),( 為三次積分，其中積分區(qū)域 ? 為由曲面 222 yxz ??及22 xz ?? 所圍成的閉區(qū)域 .解 由???????22222xzyxz, 得交線投影區(qū)域,122 ?? yx故 ? ： ?????????????????22222221111xzyxxyxx,.),(1 1 2 21 122222? ?????
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